2.2.2. Бинарные операции над раздельными графами
Определения
Если G(V,E)G’(V’,E’)=0, т.е.VV’=0 иEE’=0, тоGиG’ являютсяраздельными графами.
Для раздельных графов в общем случае определены операции:
объединение раздельных графов(disjoint union)G1(V1,E1) иG2(V2,E2) –
G(V,E)= G1(V1,E1) G2(V2,E2),
если V=V1V2иE1E2;
соединение раздельных графов (join)G1(V1,E1) иG2(V2,E2) –
G(V,E)= G1(V1,E1) G2(V2,E2),
где G(V,E) состоит изG1 G2 К(V1,V2);
здесь К(V1,V2) – завершенный двудольный граф с множеством вершин
V1иV2в долях;
произведение графов (graph product)G(V,E)иH(V’,E’) –
граф, у которого:
множество вершин равно V×V’ (т.е. множество пар, где первый элемент взят из множества вершин V, а второй – из множества вершин V’).
Смежность двух любых вершин произведения графов (g,h) и (g’,h’) определяется неоднозначно (всего возможно 256 различных произведений графов).
Определения
Пусть вершина произведения графов G1=(V1,E1) иG2=(V2,E2) обозначается (V1|V2)cVi Gi(знак | обозначает операцию склеивания). Тогда некоторые из произведений двух графов определяются следующим образом:
Конъюнкция (conduction) G=G1 G2 – две вершины (U1|U2) и (V1|V2) вGсоединены, если {U1,V2} есть реброG1и {U2,V2} есть ребро графаG2.
Дизъюнкция (disjunction) G=G1 G2– две вершины (U1|U2) и (V1|V2) соединены, если {U1,V2} есть реброG1или {U2,V2} есть ребро графаG2.
Симметричная разница (symmetric difference) G=G1 G2 - две вершины (U1|U2) и(V1|V2) соединены, если {U1,V2} есть реброG1, либо {U2,V2} есть ребро графаG2 (но не оба сразу).
Отклонение (rejection) G=G1\G2- две вершины (U1|U2) и(V1|V2) соединены, если ни {U1,V2} не является ребромG1, ни {U2,V2} не является ребром графаG2.
Декартово произведение (Cartesian product) G=G1 G2- две вершины (U1|U2) и(V1|V2) соединены, либоU1иV1идентичны и {U2,V2} есть реброG2, либоU2иV2идентичны и {U1,V1 } есть ребро графаG1.
Замечание
Вычисление произведения двух графов обычно весьма трудоемкая задача.
Вершины:{v1,u1},{v1,u2},{v2,u1},{v2,u2},{v3,u1},{v3,u2}
Ребра(заданы в
виде пары вершин):
Декартово произведение графов позволяет просто вычислить некоторые структурные свойства произведения по свойствам сомножителей.
Например, если G1иG2– графы иX={x1,x2} иY={y1,y2} – две вершины вG1 G2, то:
| G1 G2|=|G1| . |G2|
где |G| - порядок графа,
. -операция арифметического умножения.
deg G1 G2 (X)= degG1(x1) + degG2(x2),
где degG(V) – степень вершиныVграфаG.
D G1 G2 = DG1+ DG2,
где DG– диаметр графаG.
dist G1 G2(X,Y) = distG1(x1, y1) + distG2(x2,y2),
где distG(X,Y) – длина кратчайшего пути между вершинамиXи
YграфаG.