4. Деревья Штейнера с ограничениями

   1. Д

      Определение

      ерево Штейнера с ограничением степеней

Задан простой связной ненаправленный G=(V,E) c n вершинами, неотрицательными весами ребер c_ij , подмножеством терминальных вершин Z V и ограничениями степеней вершин k_i 2.

Проблемой Штейнера с ограничениями на степени вершин (The Degree-constrained Steiner Problem – DCSP) является нахождение на графе дерева Т такого, что степень каждой вершины дерева deg(i) k_i, а сумма весов ребер этого дерева минимальна среди всех возможных деревьев с ограничениями на степени вершин.

Класс сложности

Класс сложности DCSP – NP-тяжелая.

Алгоритмы

Точные алгоритмы решения DCSP (алгоритм перечисления каркасных деревьев и динамический программный алгоритм) имеют сложность O(p²2^(n-p) + n³) и O(n3^p +n²2^p + n) соответственно. Получить решения в приемлимое время для графа с десятком вершин проблематично.

Существует достаточно большое число эвристических алгоритмов, ряд из них дает расхождение решения на 10% от точного решения.

2. Д Определение ерево Штейнера с ограничением запаздывания

Задан простой связный ненаправленный граф G=(V,E) и две весовые функции на ребрах графа: функция стоимости с_ij и функция запаздывания D_ij. Обе функции являются целыми положительными числами. Кроме того, задана вершина-исток s и терминальные вершины S V.

Проблема нахождения дерева Штейнера с ограничением запаздывания:

Найти дерево Штейнера при условии, сумма запаздываний всех путей этого дерева от вершины s во все терминальные вершины не превышает некоторой положительной величины .

Класс сложности

Класс сложности данной проблемы – NP-тяжелый.

Алгоритмы

Имеется несколько эвристических алгоритмов решения данной проблемы.

3. О Определение бобщенное дерево Штейнера

Задан граф G=(V,E), вершины которого разбиты на кластеры, а ребра имеют неотрицательные целые веса c_ij.

Проблема обобщенного дерева (The Generalized Steiner Tree Problem – GSTP) формулируется двумя способами:

• на графе G=(V,E) построить связное (но не обязательно каркасное) минимальное по стоимости дерево, содержащее по крайней мере одну вершину из каждого кластера (проблема L-GSTP).

• на графе G=(V,E) построить связное (но не обязательно каркасное) минимальное по стоимости дерево, содержащее точно одну вершину из каждого кластера (проблема E-GSTP).

Класс сложности

Проблемы L-GSTP и E-GSTP относятся к NP-тяжелым.

1 Термин «триангуляция» по-разному трактуется в вычислительной геометрии, геодезии, теории графов и других областях.