с

Определения

ограничениями

Проблема нахождения минимального каркасного дерева становится двухкритериальной оптимизационной проблемой, если установить еще один дополнительный критерий: степень, диаметр, число листьев дерева и т.д. В ряде случаев рассматриваются многокритериальные минимальные каркасные деревья графов.

В литературе можно найти свыше 30 вариантов двухкритериальных минимальных каркасных проблем, а также несколько многокритериальных проблем.

3.3.1. Минимальное каркасное дерево

с заданной степенью

Определения

Если потребовать, чтобы степень минимального каркасного дерева не превышала заданного числа, т.е. deg(Т)=k, k 2, то возникает проблема нахождения минимального каркасного дерева с заданной степенью. Далее для краткости эта проблема будет называться k-MST проблемой (k-Minimum Spanning Tree problem).

2-MSP проблема является проблемой нахождения гамильтонова пути минимальной длины.

Класс сложности

k-MST проблема относится к NP-тяжелым при любом k.

Алгоритмы для k-MST проблемы на евклидовой плоскости

При задании графа G на евклидовой плоскости вес его ребер есть расстояние между смежными вершинами. Для данного случая было доказано, что существует минимальное каркасное дерево со степенью не более 5. Однако при k=3 проблема NP-тяжела, при k=4 доказательства нет.

Для решения k-MST проблемы на евклидовой плоскости существуют эвристические алгоритмы полиномиального времени (в частности, модифицированный алгоритм Прима (k-Prim algorithm)).

Весьма успешно применяются различные версии генетических и эволюционных алгоритмов.

3.3.2. Минимальное каркасное дерево с максимальным числом листьев

Определение

Для заданного взвешенного ненаправленного графа G=(V,E) найти минимальное каркасное дерево Т с максимальным числом листьев.

Класс сложности

П

Алгоритмы

роблема относится к NP-тяжелым.

Известны достаточно хорошие аппроксимационные алгоритмы, лучший из имеет сложность почти линейную в размерах графа. Аппроксимационное отношение алгоритмов – 2,5 – 3,0.

3.3.3. Каркасное дерево с кратчайшей

о

Определение

бщей длиной пути

Задан взвешенный ненаправленный граф G=(V,E) и положительное целое число B. Имеется ли каркасное дерево T=(V,F), F E, такое, что сумма всех путей между всеми возможными парами вершин u и v в этом дереве не превышала величину B?

Класс сложности

П

Алгоритмы

роблема относится к NP-тяжелым.

Имеются эвристические алгоритмы, позволяющие получить аппроксимационные отношения 2,15/8 и 3/2 за время О(n²+f(G)), O(n³) и O(n⁴) соответственно, где f(G) – время вычисления кратчайших путей между всеми парами вершин графа G, а n – число вершин графа G.

3.3.4. Каркасное дерево с ограничением диаметра

Определение

Для заданного взвешенного связного графа найти минимальное каркасное дерево с заданной нижней границей диаметра D 2.

Класс сложности

Проблема относится к NP-тяжелой для 4 D n-1, где n – число вершин графа.

Алгоритмы

Точные алгоритмы позволяют получить за разумное на практике время решение для полного графа размером менее 100 вершин. Имеются жадные эвристические алгоритмы, основанные на алгоритме Прима, а также эволюционные алгоритмы решения проблемы.