Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
II-го порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами записывается следующим образом:
(8.15)
здесь
-постоянные,
.
Структура общего решения уравнения (8.15) может определяться на основе теоремы 8.3.
Теорема
8.3. Общим решением
дифференциального уравнения (8.15) при
постоянных коэффициентах
и непрерывной функции
есть сумма общего решения соответствующего
однородного дифференциального уравнения
и любого частного решения неоднородного
уравнения, т.е.
(8.16)
Общее решение уравнения (8.15) можно определить при помощи теоремы 8.4.
Теорема 8.4.Общее решение линейного неоднородного уравнения (8.15) в некоторой области может быть найдено в квадратурах, если известно общее уравнение соответствующего однородного уравнения.
В общем случае, задача подбора
частного решения вызывает определенные
трудности, в связи с чем представляет
интерес метод вариации произвольной
постоянной (метод Лагранжа). Этот метод
позволяет найти общее решение линейного
неоднородного уравнения в квадратурах
по известной фундаментальной системе
решений соответствующего однородного
уравнения с постоянными коэффициентами.
Идея метода состоит в следующем. Пусть
известна фундаментальная система
решения
соответствующего однородного уравнения.
Тогда общее решение неоднородного
уравнения отыскивают в виде
(8.16)
где
-
неизвестные функции.
Такие функции для дифференциального уравнения второго порядка определяются из решения следующей системы:
(8.17)
Таким образом, для решения неоднородного дифференциального уравнения II порядка необходимо:
1) решить однородное дифференциальное уравнение и записать его общее решение;
2) записать общее решение неоднородного уравнения в форме общего решения однородного уравнения, однако с переменными коэффициентами;
3) построить систему (8.17) и решить ее;
4) решение системы (8.17) подставить в выражение (8.16) и получить при этом общий интеграл линейного неоднородного уравнения.
Задача 8.9.Методом вариации произвольной постоянной проинтегрировать уравнение
.
На первом этапе составим характеристическое уравнение
.
Решение такого уравнения имеет вид:
.
Фундаментальная система решений общего однородного уравнения представляется функциями:
.
Тогда общее решение линейного однородного уравнения записывается в виде
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения представляется соотношением
.
Функции
находим из системы
Решая такую систему, имеем
Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
.
Определение частного решения линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов
Вновь рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение II-го порядка с постоянными коэффициентами:
, (8.18)
Уравнение (8.18), как было показано ранее, всегда можно проинтегрировать в квадратурах методом вариации произвольной постоянной.
Однако,
необходимо отметить, что в ряде случаев,
уравнение (8.18) можно проинтегрировать
без квадратур, чисто алгебраическими
методами. Оказывается, что если функция
- правая часть уравнения (8.18) - имеет
специальный вид, то частное решение
линейного неоднородного уравнения
может быть определено методом
неопределенных коэффициентов.
Теорема 8.5.Если правая часть уравнения (8.18) имеет вид
,
где
-
многочлен степени
,
то его частное решение можно отыскать
в виде
,
где
- некоторый многочлен степени
,
- число, которое показывает, сколько раз
есть корнем характеристического
уравнения для соответствующего линейного
однородного дифференциального уравнения.
Задача 8.10.Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Составим характеристическое уравнение
.
Здесь
.
Тогда
.
Поскольку
а=2
не есть корнем характеристического
уравнения, то
и имеем:
.
Определим
и
,
.
Подставляя
выражение для
в исходное уравнение, имеем
.
Частное решение линейного неоднородного уравнения записывается следующим образом
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения представляется соотношением
.
Задача 8.11.Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Составим характеристическое уравнение:
.
Здесь
.
Тогда
.
Подберем
частное решение. Поскольку
есть двукратным корнем характеристического
уравнения, то имеем
.
Частное решение исходного уравнения имеем в виде
.
Определим
.
После
подстановки
,
у' и у" в исходное уравнение, имеем:
.
Таким образом:
.
В свою очередь, общее решение линейного неоднородного уравнения записывается в виде
.
Теорема 8.6.Если правая часть уравнения (8.18) имеет вид
,
где
- многочлены степени соответственно
то его частное решение можно отыскать
в виде
.
Здесь
- многочлены степени не выше
,
где
- большая из степеней
- число, которое показывает, сколько раз
является корнем характеристического
уравнения.
Задача 8.12.Определить общее решение уравнения
.
Составим характеристическое уравнение
.
Здесь
.
Тогда
.
Частное решение исходного уравнения будем отыскивать в виде
.
Здесь
,
значит,
.
Тогда
.
При этом
.
.
Подставляя
в исходное уравнение, имеем
.
Общее решение исходного уравнения выражается зависимостью
.