Уравнение Бернулли

Так называется уравнение вида

(8.10)

где и.

При уравнение (8.10) превращается в линейное неоднородное уравнение, притакое уравнение превращается в линейное однородное.

Утверждение 8.2. При помощи подстановки , где- новая неизвестная функция, уравнение Бернулли преобразуется к линейному относительно переменной.

При выполнении такого рода подстановки, имеем, если , то

.

Тогда, после подстановки выражений для переменных ив соотношение (8.10), получают

или

(8.11)

Последнее уравнение относится к типу линейных неоднородных уравнений и может быть проинтегрировано в квадратурах. Тогда таким свойством будет обладать и уравнение Бернулли. Уравнение (8.11) можно проинтегрировать методом вариации производной постоянной

Задача 8.6.Проинтегрировать уравнение

Здесь и данное уравнение будет относиться к типу уравнений Бернулли. Для его решения применяем подстановку

После подстановки соотношений для ив исходное уравнение, получим

.

Решая такое уравнение методом вариации произвольной постоянной, получим

Возвращаясь к исходным переменным, имеем совокупность решений заданного уравнения

Линейные однородные дифференциальные уравнения

II порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами представляется следующим образом:

(8.12)

Определение 8.6. Любое решение дифференциального уравнения (8.12), представленное в виде называется частным решением.

Определение 8.7. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения II порядка на интервале называется совокупность его двух частных решений линейного однородного уравнения определенных и линейно-независимых на интервале.

Следствие определения 8.7. Для того, чтобы система двух частных решений линейного однородного уравнения II порядка была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы составленный для нее определитель Вронского отличался от нуля по крайней мере в одной точке интервала .

Определение 8.8.Определитель вида

называется определителем Вронского для дифференциального уравнения II порядка.

Теорема 8.1. Если функции илинейно-зависимы на интервале, то определитель Вронского превращается в нуль.

С помощью фундаментальной системы решений дифференциального уравнения II-го порядка можно решить вопрос о структуре общего интеграла однородного дифференциального уравнения II-го порядка.

Теорема 8.2. Если - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения II-го порядка на интервале, то линейная комбинация этих решений

есть общее решение дифференциального уравнения в заданной области.

Примечание. Из теоремы следует, что для того, чтобы получить общее решение, необходимо найти два линейно-независимых частных решения и взять их линейную комбинацию. Например, для уравнения , частными решениями будут функции вида. Следует иметь в виду, что эти решения на всей действительной оси будут линейно-независимыми, поскольку

.

Тогда общее решение дифференциального уравнения вида будет записано в виде

.

Частные решения дифференциального уравнения (8.12) отыскиваются в виде

(8.13)

Выбор решения уравнения (8.12) в виде (8.13) основано на том, что функция определена для всех, имеет производную любого порядка и нигде не обращается в нуль.

После подстановки (8.13) в (8.12) имеем

.

Поскольку , то решение (8.13) будет удовлетворять уравнению (8.12), если

(8.14)

Такое уравнение принято называть характеристическим уравнением, корни его определяются из соотношения

.

При решении характеристического уравнения (8.14) возможны следующие варианты:

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные.

При этом и общее решение линейного однородного уравнения представляется следующим образом:

.

2. Корни характеристического уравнения действительны и равны между собой.

Итак, здесь имеют .

Тогда одно частное решение записывается в виде , а другое.

При этом нетрудно проверить, что система решений ибудет фундаментальной. Таким образом, здесь общее решение исходного уравнения записывается в видеили.

3. Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные. При этом, имеют следующее решение характеристического уравнения (8.14):

, здесь,

тогда ,и общий интеграл дифференциального уравнения представляют в виде

.

Задача 8.7.Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Характеристическое уравнение здесь имеет вид

.

Его решения будут определяться следующим образом:

.

В таком случае фундаментальная система решений будет выражаться следующими функциями

,

и общий интеграл исходного уравнения будет иметь вид

.

Задача 8.8. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения при начальных условиях.

Характеристическое уравнение здесь имеет вид

;

Тогда

.

В таком случае

.

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид

.

Далее решим задачу Коши.

Используя условие , определим значение.

.

Используя условие определим

.

.

Итак, решение задачи Коши при заданных начальных условиях имеет вид:

.