Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение 8.4.Дифференциальное уравнение вида

(8.4)

где называется уравнением в полных дифференциалах.

Заметим, что левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции .

В общем случае, уравнение (8.4) можно представить в виде

(8.5)

Вместо уравнения (8.5) можно рассматривать уравнение

,

решение которого есть общим интегралом уравнения (8.4). Таким образом, для решения уравнения (8.4) необходимо найти функцию . В соответствии с определением уравнения (8.4), имеем

(8.6)

Функцию будем отыскивать, как функцию, удовлетворяющую одному из этих условий (8.6):

где - произвольная функция, не зависящая от.

Функция определяется так, чтобы выполнялось второе условие выражения (8.6)

(8.7)

Из выражения (8.7) и определяется функция . Подставляя ее в выражение дляи получают общий интеграл исходного уравнения.

Задача 8.3. Проинтегрировать уравнение

Здесь .

Следовательно, данное уравнение относится к типу дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Функцию будем отыскивать в виде

;

;

.

С другой стороны,

.

Тогда ;

.

В ряде случаев условие может не выполняться.

Тогда такие уравнения к рассматриваемому типу приводятся умножением на так называемый интегрирующий множитель, который, в общем случае, является функцией только или.

Если у некоторого уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он определяется по формуле

где отношение должно быть только функцией.

Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от , определяется по формуле

где отношение должно быть только функцией.

Отсутствие в приведенных соотношениях, в первом случае переменной , а во втором - переменной, являются признаком существования интегрирующего множителя для данного уравнения.

Задача 8.4.Привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

.

Рассмотрим отношение:

.

Тема 8.2. Линейные дифференциальные уравнения

Определение 8.5. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции, ее производнойи не содержит произведения искомой функции и ее производной.

Общий вид линейного дифференциального уравнения представляется следующим соотношением:

(8.8)

Если в соотношении (8.8) правая часть , то такое уравнение называется линейным однородным. В случае, когда правая часть, то такое уравнение называется линейным неоднородным.

Покажем, что уравнение (8.8) интегрируется в квадратурах.

На первом этапе рассмотрим линейное однородное уравнение.

Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,

;

;

/

Последнее соотношение и определяет общее решение линейного однородного уравнения.

Для отыскания общего решения линейного неоднородного уравнения применяется метод вариации производной постоянной. Идея метода состоит в том, что общее решение линейного неоднородного уравнения в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения, однако произвольная постоянная заменяется некоторой функцией, подлежащей определению. Итак, имеем:

(8.9)

Подставляя в соотношение (8.8) выражения, соответствующие и, получим

или

Подставляя последнее выражение в соотношение (8.9), получают общий интеграл линейного неоднородного уравнения.

Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения определяется двумя квадратурами: общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.

Задача 8.5. Проинтегрировать уравнение

Здесь .

Таким образом, исходное уравнение относится к типу линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

На первом этапе найдем общее решение линейного однородного уравнения.

;

На втором этапе определим общее решение линейного неоднородного уравнения, которое отыскивают в виде-

,

где - функция, подлежащая определению.

Итак, имеем:

Подставляя соотношения для ив исходное линейное неоднородное уравнение получим:

;

;

.

Общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

.