Виділення цілої частини

Приклад 9:

Скористаємося тотожним перетворенням: додамо і віднімемо в чисельнику те саме число, відповідним чином згрупуємо і почленно поділимо на знаменник. Далі використовуємо властивості інтегралів і формулу 15 з таблиці:

В цьому випадку виділення цілої частини здійснили, додаванням й відніманням у чисельнику 4, а потім діленням отриманого виразу на знаменник.

Використання тригонометричних формул

Приклад 10:

Від у непарного степеня відокремлюєтьсяі підводиться під знак диференціала, парний (тут - другий) степіньcosx перетворюється за допомогою основної тригонометричної тотожністі (або, що те ж саме - «тригонометричної одиниці»), що має вид:

Покажемо, як можна інтегрувати степені tgx і ctgx.

Приклад 11:

Вираз tg²x подаємо у вигляді: Після чого інтеграл розпадається на декілька інтегралів, які легко звести до табличних. Степінь ctgx інтегруються аналогічно.

Роздивимося ще один прийом, для випадку коли в знаменнику підінтегрального дробу, знаходиться парний степінь sinx або cosx більший другого.

Приклад 12:

Замінивши звичайну одиницю в чисельнику тригонометричною і поділивши почленно на знаменник, одержуємо два табличних інтеграли.

ІНТЕГРУВАННЯ ДРОБОВО-РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Дробово-раціональна функція — це відношення двох багаточленів:

де індекси m і n визначають їхній степінь:

Роздивимося загальну схему інтегрування дрібно-раціональних дробів:

1. Якщо — дріб неправильна, тобто m  n, необхідно розділити чисельник на знаменник. При цьому виділяється ціла частина, яка легко інтегрується, оскільки являє собою або багаточлен, або сталу (якщо m = n) і, крім того, одержуємо дробову частину у вигляді правильного дробу. Прийом інтегрування правильного дробу полягає в його розкладанні на суму простих дробів.

2. Знаменник правильного дробу розкладається на прості множники, що мають вигляд ( де), шляхом рішення рівняння

3. Правильний дріб розкладається на найпростіші дроби які мають вигляд: із невідомими коефіцієнтами, методи знаходження яких будуть викладені нижче. Знаходимо суму невизначених інтегралів від цілої частини і найпростіших дробів.

Інтегрування найпростіших дробів

1. Тут використані властивості невизначеного інтеграла і таблиця.

2. 

3. причому дискримінант

Видімемо у чисельнику похідну від знаменника. Для цього коефіцієнт (А) перед x у чисельнику разділимо на коефіцієнт перед x у похідній від знаменника помножимо на похідну від знаменника, перенесемо вільний член (В) і віднімемо “зайвий” доданок, який з'явився в чисельнику:

= {у чисельнику першого доданку – похідна від знаменника }=

Розглянемо окремо :

Таким чином, остаточно маємо:

Розглянемо окремі випадки:

1. Знаменник дробу розкладається на лінійні множники , які не повторюються.

Підінтегральна дріб — неправильна. Чисельник ділимо на знаменник (виділяємо цілу частину).

Отже:

Знаменник правильного дробу розкладаємо на множники Правильний дріб подаємо у вигляді суми найпростіших дробів із невідомими коефіцієнтамиНевідомі коефіцієнти А, В, С знаходимо за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину приводимо до загального знаменника і прирівнюємо чисельники Використовуючи засіб окремих рішень (замістьx в обидві частини останньої рівності підставляємо значення коренів знаменника), отримаємо:

Остаточно отримаєм:

2. Знаменник дробу розкладається на множники першого степеня, серед яких є такі що повторюються

Підінтегральна функція — правильний дріб. Знаменник цього дробу розкладається на множники: Підінтегральна функція розкладається на найпростіші дроби:А, У, С знаходимо за допомогою методу невизначених коефіцієнтів Далі використовуємо засіб окремих значень у комбінації з засобом порівняння коефіцієнтів (прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях x зліва і справа).

Остаточно маємо:

3. Знаменник дробу розкладається на множники першого і другого степеня (із від’ємним дискримінантом).

Звернемося до приклада:Знаменник правильного дробу розкладаємо на множники, а підінтегральну функцію подаємо у вигляді суми простих дробів( У чисельнику найпростішого дробу повинен бути багаточлен, степінь якого на одиницю нижчий, ніж у знаменнику). Далі знаходимо невизначені коефіцієнти:

ІНТЕГРУВАННЯ ПО ЧАСТКАХ

Всякий підінтегральний вираз можна записати у вигляді u dv (u і v -функції змінної інтегрування).

Інтегруванням по частках називається зведення даного інтеграла до інтегралаза допомогою формули

(2)

Причому знаходиться легше, ніж, або якщо один із цих інтегралів можна виразити через інший.

Варто пам'ятати, що за приймається функція, яка спрощується при диференціюванні, а за dv - вираз, невизначений інтеграл від якого можна знайти.

Роздивимося випадки для конкретних типів підінтегральних функцій.

1. або— під знаком інтеграла багаточлен степені (або позитивний степінь) помножений або на тригонометричну, або на показову функцію.

У цьому випадку в якості вибирається багаточлен (або степінь). Застосування формули (**)дозволить понизити степіньx на одиницю. Якщо степінь x вищий ніж перший, формулу (**) використовуємо стільки разів, яким є степінь x (або багаточлена).

Приклад 1:

Прокоментуємо рішення. Складемо такий ланцюжок рівностей

Диференціал u знаходимо, шляхом диференціювання степені x,

v знаходимо, шляхом интегрування dv.

Приклад 2:

Скористаємося раніше наведенними рекомендаціями, в цьому випадку у ролі u виступає x. Тоді: Підставляємо їх у формулу (2)

2. Розглянемо інтеграли вигляду:

або - під знаком інтеграла добуток показової функції на тригонометричну.

У цьому випадку в якості u можна вибрати будь-яку з функцій.

Інтеграл при цьому береться по частках двічі і після цього в правій частині утворюється такий же інтеграл, як даний, але з іншим коефіцієнтом. На закінчення залишається привести подібні (тут ними є члени, що містять шуканий інтеграл) і поділити на одержуваний коефіцієнт обидві частини рівності.

Підкреслимо, що в якості u обидва рази варто брати тільки показову (або тільки тригонометричну) функцію.

Приклад 1:

відкіля одержуємо:

Розглянем ще один приклад, при рішенні якого після дворазового застосування формули інтегрування по частках одержуємо в правій частині вихідний інтеграл, але з іншим коефіцієнтом.

Приклад 2:

Переносимо інтеграл із правої частини в ліву і приводимо подібні:

Таким чином,

3. Під знаком інтеграла маємо обернену тригонометричну функцію або логарифмічну функцію. Тут у якості u вибираємо зазначену функцію.

Приклад 1:

Розглянемо інтеграл:

ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ КЛАСІВ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ