Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

Г. Г. ШВАЧИЧ, В. С. КОНОВАЛЕНКОВ, Т. М. ЗАБОРОВА

Означений інтеграл та його застосування.

Невластиві інтеграли

Дніпропетровськ НМетАУ 2012

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

Г. Г. ШВАЧИЧ, В. С. КОНОВАЛЕНКОВ, Т. М. ЗАБОРОВА

Означений інтеграл та його застосування.

Невластиві інтеграли

Затверджено на засіданні Вченої ради академії

як навчальний посібник. Протокол № 1 від 30.01.2012

Дніпропетровськ НМетАУ 2012

УДК 517.3

Швачич Г.Г., Коноваленков В.С., Заборова Т.М. «Означений інтеграл та його застосування. Невластиві інтеграли »: Навч. посібник. - Дніпропетровськ: НМетАУ, 2012. – 42 с.

Містить теоретичні відомості про означені та невластиві інтеграли. Розглянута велика кількість прикладів, у тому числі на застосування цих інтегралів до розв’язання прикладних задач.

Наведенозавданнядля самостійного розв’язання. Призначений для студентівекономичних спеціальностей.

Іл. 18. Бібліогр.: 7 найм.

Друкується за авторською редакцією

Відповідальний за випуск Г. Г. Швачич, канд. техн. наук, проф.

Рецензенти:Ю.Н.Головко, канд. фіз.-мат.наук, доц. (НГУ)

В.П.Пошивалов, докт. техн..наук, проф. (ІТМ АН України)

© Національна металургійна академія

України, 2012

© Швачич Г.Г., Коноваленков В.С., Заборова Т.М., 2012

ЗМІСТ

1. Означений інтеграл……………………………………..……........…4

1. 1. Означений інтеграл. Теорема про існування означеного інтеграла………………………………………………………………...…4

1. 2. Основні властивості означеного інтеграла…………….…..….6

2. Обчислення означеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца...8

3. Заміна змінної у означеному інтегралі………………………….….12

4. Інтегрування частинами у означеному інтегралі ……………..…..14

5. Невластиві інтеграли……………………………………….……......15

5. 1. Невластиві інтеграли з нескінченними границями… ……...15

5. 2. Інтеграли від розривних функцій ……………………………18

6. Геометричні та механічні застосування означеного інтеграла…...21

6. 1. Обчислення площ у прямокутних координатах……………..21

6. 2. Обчислення площі криволінійної трапеції , якщо крива

задана рівняннями у параметричному вигляді……………………….23

6. 3. Площа криволінійного сектора у полярних координатах…..24

6. 4. Довжина дуги кривої…………………………………………..25

6. 5. Довжина дуги у полярних координатах……………………...27

6. 6. Обчислення об’ємів тіл по поперечним перетинам…………28

6. 7. Об'єм тіла обертання………………………………………….29

6. 8. Площа поверхні тіла обертання……………………………...30

6. 9. Обчислення роботи за допомогою означеного інтеграла….32

7. Завдання для самостійної роботи……………………….. ……….34

Література……………………………………………………………..42

3