Марчук / 4Маткад

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

Інтерполяція функцій в пакеті MATHcAD

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ №4

З КУРСУ “комп’ютерна ОБРОБКА ІНФОРМАЦІЇ”

для студентів базового напряму

6.170103 «Управління інформаційною безпекою»

№2882 від 8.10.09

Затверджено

на засіданні кафедри

“Захист інформації” протокол № 3 від 24.09.2009 р.

Львів – 2009

Інтерполяція функцій в пакеті Mathcad: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Комп’ютерна обробка інформації” для студентів базового напряму 6.170103 «Управління інформаційною безпекою» / Укл. Л.В.Мороз, Л.М.Ракобовчук, І.І.Рудик, О.В.Пашук - Львів: НУЛП, 2009, - 10 с.

Укладачі: Мороз Л.В., канд. техн. наук, доц. Ракобовчук Л.М., канд. техн. наук, доц.

Рудик І.І., інженер

Пашук О.В., асистент

Відповідальний за випуск: Дудикевич В.Б., проф., д.т.н, зав.каф. Захисту інформації

Рецензент:

Максимович В.М., доктор техн. наук, проф.

Мета: навчитись проводити інтерполяцію функцій в середовищі Mathcad, навчитися застосовувати набуті знання для комп’ютерної обробки інформації.

1. Теоретична частина

В наукових і інженерних розрахунках часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих експериментальним шляхом або методом випадкової виборки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, на яку могли б з високою точністю будуть включені отримані значення. Таке завдання називається апроксимацією кривої. Екстраполяція - методи знаходження точок за межами заданого інтервалу (продовження кривої).

Інтерполяція - спосіб знаходження проміжних значень величини по наявному дискретному набору відомих значень. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних, тобто - це методи побудови наближених кривих.

Наприклад, дана таблична функція, на зразок описаної нижче, яка для декількох значень визначає відповідні значення f:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Інтерполяція допомагає дізнатися яке значення може мати така функція в точці, відмінній від вказаних, наприклад, при x = 2,5?

Існує безліч різних способів інтерполяції. Вибір найбільш відповідного алгоритму залежить від точності вибраного методу, витрат на його використання, наскільки гладкою є інтерполяційна функція, якої кількості точок даних вона вимагає і т.п.

Способи інтерполяції.

1. Інтерполяція многочленами

На практиці найчастіше застосовують інтерполяцію многочленами. Це пов'язано перш за все з тим, що многочлени легко обчислювати, легко аналітично знаходити їх похідні і безліч многочленів щільно в просторі безперервних функцій. До цього типу інтерполяції (обчислення у при заданому x) відносяться:

- лінійна інтерполяція;

- інтерполяційна формула Ньютона;

- метод кінцевих різниць;

- многочлен Лагранжа.

Оберенена інтерполяція (обчислення x при заданом у):

- поліном Лагранжа;

- обернена інтерполяція за формулою Ньтона;

- обернена інтерполяція за формулою Гауса.

2. Інтерполяція функції декількох змінних:

- білінійна;

- бікубічна.

3. Інші способи інтерполяції:

- рацінальна;

- тригонометрична..

2. Порядок виконання роботи.

2.1. Проведення лінійної інтерполяції.

Лінійна інтерполяція – інтерполяція алгебраїчним двочленом

P₁(x) = ax + b

функції f, заданої в двох точках x₀ і x₁ відрізку [a, b].

Використовується для стиснення таблиць.

Формула лінійної інтерполяції є окремим випадком інтерполяційних формул Лагранжа і Ньютона.

Приклад 2.1. Дана таблиця значень функції з сталим кроком, де перший стовпець, х - координата, а другий, y - координата.

Провести інтерполяцію функції заданої таблично.

Для простоти вважаємо, що значення аргументу функції впорядковані за зростанням.

Обчислити значення функції в точці x=0.53. Очевидно, необхідно побудувати рівняння прямої такою, що проходить через дві найближчі точки і обчислити значення функції для даного значення аргументу. Це лінійне наближення.

В Mathcad реалізована стандартна функція для лінійної інтерполяції linterp().

Функція

linterp(vx, vy,x):

де vx , vy - вектори даних впорядковані за зростанням; x - аргумент, для якого повертається обчислене значення.

Розв’язок:

_{i := 0..10}

Операція   вирізає стовпець двовимірної матриці.

Побудуємо на графіку початкову залежність vy_i і набір лінійно інтерпольованих точок:

2. 2. Проведення кубічної сплайн-інтерполяції.

Під сплайном (від англ. spline - планка, рейка) розуміють фукнцію, якв співпадає з функціями більш простої природи на кожному елементі розбиття своєї області визначення.

Класичний сплайн однієї змінної будується так: область визначення розбивається на скінченне число відрізків, на кожному з яких сплайн співпадає з деяким алгебраїчним поліномом. Максимальна степінь з використаних поліномів називається степенем сплайна. Різниця між степенем сплайна і отриманою гладкістю називається дефектом сплайна. Наприклад, неперервна ламана є сплайн ступеня 1 і дефекту 1.

Сплайни мають численні застосування як в математичній теорії, так і в різноманітних обчислювальних застосуваннях. Зокрема, сплайни двох змінних використовуються для задання поверхонь в різних системах комп'ютерного моделювання.

Нехай деяка функція f(x) задана на відрізку [а,b], розбитому на частини

[x_{i − 1},x_i], a = x₀ < x₁ < ... < x_N = b.

Кубічним сплайном називається функція S(x), яка:

- на кожному відрізку [x_{i − 1},x_i] є многочленом третього ступеня;

- має неперервні першу і другу похідні на всьому відрізку [а,b];

- в точках x_i виконується рівність S(x_i) = f(x_i);

- S''(a)= S''(b)= 0.

По побудові сплайн S(x) інтерполює функцію f в точках x_i.

В Mathcad реалізована стандартна функція interp() для кубічної сплайн-інтерполяциі.

Кубічна сплайн-інтерполяція дозволяє провести через набір точок гладку криву так, щоб в цих точках були неперервні перша і друга похідні. Спочатку обчислюється вектор других похідних для чого є набір з 3-х функцій:

-- генерує криву, яка є кубічним поліномом в граничних точках;

- відповідно, параболу;

- пряму.

Приклад 2.2. Провести кубічну сплайн-інтерполяці функції, заданої в прикладі 2.1.

Обчислимо:

 

Будуємо графікі для всіх 3-х варіантів.

Графік змістили на 0.1 в обидві сторони, щоб побачити різницю у згладжуванні на межах інтервалу.

3. Завдання для виконання роботи.

3.1. Функція задана таблицею значень:

Впорядкувати масив даних за зростанням аргументу (1 рядок).

Побудувати графік залежності, згладжуючи сплайнами.

4. Зміст звіту.

4.1. Представити результати обчислень і графічний матеріал відповідно п.2.

4.2. Представити результати обчислень і графічний матеріал відповідно п.3.

Список літератури.

1. Кирьянов Д.А. Самоучитель MathCad 11.– Санкт-Петербург: БВХ- Петербург, 2003.– 540 с.

2. Гурский Д.А., Турбина Е.А. Вычисления MathCad 12– Санкт-Петербург: Питер, 2006.– 546 с.

Навчальне видання

Інтерполяція функцій в пакеті Mathcad: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Комп’ютерна обробка інформації” для студентів базового напряму 6.170103 «Управління інформаційною безпекою»

Укладачі: Мороз Л.В., канд. техн. наук, доц. Ракобовчук Л.М., канд. техн. наук, доц.

Рудик І.І., інженер

Пашук О.В., асистент