ОФК

Окрім того, є щесимвольнісистеми, уякихкоженсимволсам пособі не характеризує якесь число, а окремим комбінаціям символів умовно ставитьсяувідповідністьокремечисло.Дотакихсистемналежать,наприклад,

знакологарифмічна, система числення із залишками (система залишкових класів)тощо.

2.2.Позиційні системи числення, які застосовують

укомп’ютерах

Для подання чисел у комп’ютерах і виконання арифметичних операцій застосовують різні системи числення, які приводять до різних показників переробки інформації. До появи швидкодійних цифрових обчислювальних машин (ЦОМ) для обчислень здебільшого використовувалася десяткова система числення, яка повсюди використовується і нині у неавтоматизованих обчисленнях. Для подання чиселвуніверсальнихЦОМзастосовувалиізастосовуютьдвійкову,трійкову, вісімковуішістнадцятковусистемичислення,адляопрацюванняекономічної інформації–двійково-десяткову.Інодівикористовуютьалгоритмивиконання операційунадлишковихсистемахчислення,системахчисленнязалишкових класівтощо.

2.2.1. Вибір системи числення

Ефективністьсистемчисленнярізнихкомп’ютерівоцінюютьзатакими чинниками:

–складність алгоритмів перетворення під час приймання даних і виведеннярезультатів, коли вониподаніуіншийсистемічислення;

–складність поданнячиселукомп’ютері залежновідструктурисистеми елементів, щовикористовується. Довжина числаістотнозалежитьвід основи системи числення;

–основасистемичисленнявизначаєкількістьстійкихстанів,якіповинен матифункціональний елемент, щовибранийдля зображеннярозрядів числа;

–складністьі швидкодіюпристроїв виконання арифметичнихта інших типовихмашиннихопераційнадчислами;

20

–зручність для безпосереднього читання і оцінки модуля числа і його знака.

Визначимо,за якоїосновисистемичислення d0 дляподанняпевного

обсягучисел M потрібнанайменшакількістьапаратнихвитрат.Припустимо, що технічно електронні схеми реалізуються так, що обсяг електронних елементів, які використовуються для створення елементної бази,

пропорційний до основи системи числення. Тоді для подання M чисел ( M d i , де i –максимальна кількістьрозрядівуформаті числа)потрібно E електроннихсхем:

E d i ,

де –коефіцієнтпропорційності. Підставимоувираздля E значення i :

Оскільки E – це функція від d , за інших сталих значень, для знаходження d0 прирівняємопершупохіднудонуля:

Отже, найекономічнішою основою системи числення є число e 2,718 . Якщо вибрано цілочислове значення основи числення,

найближчимидозначенняеєчисла 3і2.

Природаелектроннихпристроївнакладаєобмеженняназастосування десяткової системи числення у машинних обчисленнях, хоча ця система звичніша. Від вибору системи числення під час проектування комп’ютера залежатьтакійогохарактеристики, якшвидкістьобчислень, обсягпам’яті, складністьалгоритміввиконання арифметичнихоперацій.

Виконаємокількіснуоцінкуефективностіподаннярізнихсистемчислення. Система числення з основою d за допомогою n розрядівдає змогу передатибудь-якечисло A ,кількістьзначеньякого Ai міститьсяуінтервалі

0 Ai d n 1,тобтодлязображеннячисла A усистемічисленнязосновою d необхідно

21

n ln(A 1) log d A ln d

розрядів, якщо logd A 1.

Наприклад, вартістьподання числа A прицініелементапам’ятідля

збереження одної цифри K системи числення з основою d становить:

Утабл.2.1наведенорозрахованікількісніоцінкиефективностіподання різних систем числення стосовно систем з основами d 2,3,10 та e . Як видноз таблиці,найліпшоюєсистемачисленняз основою d 3 ,тількина5 %їйпоступаютьсядвійковаічетвірковасистемичислення.Неважкопомітити також загальну тенденцію – пониження економічності подання чисел із збільшеннямосновисистеми числення. Так, економічністьподання чиселу десятковійсистемічисленняпорівнянноздвійковоюаботрійковоюприблизно у1,5 разагірше.

Таблиця 2.1.

Продовженнятабл. 2.1.

Вираз (2.2.) можна використовувати для вибору основи системи числення тільки за критерієм мінімуму загального числа станів регістрів. Цейкритерійне характеризуєфактичнуекономічністьапаратурних витрату ЦОМ за певної основи системи числення. Складність елемента пам’яті регістранеобов’язковопропорційнадокількості йогоможливихстанів. Разом зтим,оскількискладністьелементапам’ятізбільшуєтьсяіззбільшеннямйого можливих станів, то вираз (2.2.) дає уявлення про відносну економічність реалізаціїтієїчи іншоїсистемичислення.

Стосовнотехнічної реалізації найліпшою єсистема з основою 2 або

двійкова, тому що двопозиційні елементи різної фізичної природи легко реалізуються. Крім того, упроцесахз двомастійкимистанами різницяміж цимистанамимаєякісний, а не кількіснийхарактер, щозабезпечуєнадійну реалізацію двійкових цифр. Отже, простота арифметичних і логічних дій, мінімумобладнання,щовикористовуєтьсядляподаннячиселтанайзручніші умовиреалізації тількидвохстійкихстаніввизначилизастосуваннядвійкових

систем числення практично в усіх відомих комп’ютерах і таких, що проектуються.

Для зображенняслужбової інформації– програм підчас підготовки задачдорозв’язанняукомп’ютері,усистемахпередаванняінформації тощо – використовують допоміжні системи числення, такі, як вісімкова і шістнадцяткова.Урізнийчасуінформаційнихсистемахвикористовувалися ііншісистемичислення,наприклад трійкова,сімковаідвійково-десяткова.

2.2.2. Двійкова система числення

Двійкова система числення у комп’ютерах є основною, у якій здійснюються арифметичні і логічні перетворення інформації упристроях комп’ютера. Вона має тільки дві цифри: 0 і 1, а всяке двійкове число зображається увиглядікомбінаціїнулівіодиницьвідповіднодовиразу(2.1). Згідноз (2.1.),кожнийрозрядчисла удвійковійсистемі численняліворучвід коми подається двійкою у відповідному додатному степені, а праворуч від коми–двійкоюувід’ємномустепені(табл.2.2.).

Таблиця 2.2.

Наприклад, розгорнуту форму двійкового числа 11101,01 можна

записатитак:

11101,012 1 24 1 23 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 216 8 4 1 0,25 29,2510

Яквиднозприкладу,навітьпорівняноневеликічислаудвійковійсистемі численнязаймають багатопозицій.

Далі,щобне плутатичисла, складеніз тихсамихцифр,але таких,що належать до різних систем числення, після кожного числа зазначатимемо системучисленняувиглядіпідрядковогоіндексу. Наприклад, запис 101,012

означає, щорозглядається двійкове числоодин нуль один кома нуль один, а запис 101,110 відповідаєдесятковомучислустоодиніоднадесята.

Середнедоліківдвійковоїсистемичисленняможна назватитакі:

1. Найбільша, порівняно з іншими системами числення, кількість розрядів, які необхідні для подання однакових за абсолютною величиною чисел.Порівняйте:

2510 1758 5005 11111012

2. Необхідність переведення вхідних даних з десяткової системи до двійковоїівихідних–здвійкової додесяткової.

2.2.3. Вісімкова система числення

Вісімкова система числення має основу d 8 i ai 0,1,2,3,4,5,6,7 . Число вісім (основа системи числення) записується двома цифрами у вигляді 10. Будь-яке вісімкове число може бути зображене за допомогою формулирозкладу(2.1) десятковимеквівалентом, наприклад:

726,158 7 82 2 81 6 80 1 8 1 5 8 2 470,20312510

Запискоманді данихпрограмиувісімковій системічисленнявтричі коротший,ніжудвійковій.

2.2.4. Шістнадцяткова система числення

Шістнадцяткова система числення має основу d 16 і

ai 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F .Для записучиселусистемічислення

зосновою більше ніж 10 арабських цифр виявляється недостатньо і доводитьсядодаткововводитисимволи,щооднозначнопредставляютьцифри від10до15.Уційсистемічисленнязастосовуютьвеликілатинські(англійські) символидля позначенняцифрвід10до15.

Будь-якечислоз шістнадцятковоїсистемичисленнятакожможебути зображене десятковим числом за допомогою формули розкладу (2.1),

наприклад:

Числа у шістнадцятковій системі числення часто позначають латинськимилітерами H (або h )відслова–hexadecimal,якеперекладається як “шістнадцятковий”, наприклад, A3, Bh . Команди і дані, записані у шістнадцятковійформі,учотириразикоротшеніж записаніудвійковійформі.

У табл. 2.3., для порівняння, наведені числа, що записані у різних позиційнихсистемахчислення.

2.2.5. Двійково-десяткова система числення

Двійково-десятковий код ( D -код)орієнтований нанайзручнішудля людини десяткову систему числення. У ньому для запису чисел використовують тільки двійкові цифри 0 і 1. Двійково-десяткова система численнямаєоснову d 10 ікожнацифра(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)зображається уційсистемі численнячотирирозрядним двійковим числом, щоназивається

тетрадою.

Наприклад,

0001 1001 1000 0100 D 198410

1 9 8 4

Перетворення чисел з десяткової системи числення до двійководесяткової не пов’язані з обчисленнями і легкореалізуються за допомогою

26

найпростішихелектроннихсхем, оскількиперетвореннюпідлягаєневелика кількість (чотири) двійкових розрядів. Двійково-десяткові числа перетворюються у десяткові у комп’ютері автоматично за особливою програмою переведення.

Двійково-десятковасистемачисленнявикористовуєтьсяукомп’ютерах нетількиякдопоміжнадлявведенняівиведенняданих, алеіякосновна –для розв’язаннязадач, коли укомп’ютервводитьсяівиводитьсявеликакількість чисел, а обчислень над ними виконується мало. У такому разі операції,

пов’язаніз переведенням чиселз однієї системичисленнядоіншої,істотно перевищували б час виконання операцій з обробки інформації. Наявність блокадесятковоїарифметикиуАЛПвиключаєнеобхідністьпрограмованого переведення чисел під час розрахунків таких задач. Використання двох основних систем числення (двійкової і двійково-десяткової) дає змогу створюватикомп’ютеринадзвичайновисокоїпродуктивності.

Десяткові числа двійково-десяткової системи числення, яка використовується у комп’ютері як допоміжна, звичайно кодуються у прямому двійковому коді з вагами розрядів 8-4-2-1, хоча можливі і інші варіантивагикодовихнаборів,наприклад,2-4-2-1,3-3-2-1таін.Вагадесяткової цифри складається з ваг окремих розрядів двійкової тетради залежно від вибраногокодовогонабору. Такікодиназиваютьзваженими.

Таблиця 2.4.

Приклади подання двійково-десяткових чисел

27

Наприклад,користуючисьтабл.2.4,запишемодесятковечисло(572,38) удвійково-десятковомукоді8-4-2-1:

Длякодовогонабору3-3-2-1тесамечислобудевиглядати:

Як видноз табл. 2.4. – удеяких кодових наборах двійково-десяткові

числа подають не завжди єдиним способом. Цей недолік не дає змоги використовуватибудь-якийкодовийнабір.Вибірподаннячиселвизначається самодоповняльністюкодів.Самодоповняльнікодовінаборипозбавленіцього недоліку, тобтодаютьзмогуоднозначноподаватидвійково-десятковічисла.

Можна показати, що для того, щоб зважений кодовий набір був самодоповняльним,необхідно, щобисумайоговаг дорівнювала 9, як укоді

2-4-2-1.

У комп’ютерах, у яких передбачена можливість виконання арифметичнихопераційнаддесятковимичислами,підчасвиконанняоперацій десятковічислаізкоду8-4-2-1перетворюютьсяудесятковийкодзнадлишком. Код з надлишком формується додаванням кожного кодового набору з надлишковим числом (у табл. 2.3 – код із надлишком 6, тобто, код числа визначається,як a 6 ).Кодовінабориізнадлишкомналежатьдонезважених самодоповняльнихкодів.

Визначення: Доповнення цифри a за основою d визначають як: a d 1 a .

Фактично,доповнення a дорівнюєрізниціміж найбільшоюцифрою

Удесятковійсистемі численнянайбільшоюєцифра 9.Тому,наприклад,доповненням 3 буде 9 – 3 = 6.

Удесятковій системі числення доповнення також називається

порозряднимдоповненнямдо9,аудвійковійсистемі–доповненнямдо1.

28

Кодназивається самодоповняльним,якщокодовийнабірдоповнення числа N до 9, тобто 9 – N , може бути отриманий з кодового набору N заміною усіх нулів на одиниці і усіх одиниць на нулі (інакше – інверсії).

Наприклад, для системи числення із надлишком 6 десяткове число 5 записуєтьсяяк 0101 0110 1011,інверсія, щодорівнює 0100 –доповнює код 0101 до 1001 (тобто, до9).

Використання надлишкових кодів дає можливість спростити дії над десятковимичисламиуАЛП.Укомп’ютерахтретьоготачетвертогопоколінь використовувався код із надлишком 6, який дає змогу під час додавання автоматичновиконуватиперенесення устаршийдесятковий розряд.

Крімрозглянутихвищесистемчислення,уякихзаосновувзятедвійкове зображеннякодівчиселяк1 і0,булизапропонованідвійковісистеми числення,уякихдлязображеннячиселвикористовуютьсимволи1, -1 або0, -1. Існуютьщетакзванінадлишковідвійковісистемичислення, наприклад,зсимволами0, 1, -1.Томусистему можнарозглядатияк трійкову систему числення (тобто, d 3 ). Свого часу використовувалася електронна обчислювальна машина „Сетунь” з елементною базою на трійковій основі. Але на практиці найпоширенішадвійковасистемачислення.

2.3. Переведення чисел з однієї позиційної системи числення у іншу

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої може бути виконанодвома способами.Першийспосіб–табличний,якийгрунтуєтьсяна порівняннікодуодноїсистемичисленнякодуіншоїсистемичислення,якімають однакові числові еквіваленти. Спосіб громіздкий, потребує великого обсягу пам’яті длязберігання таблиці, однак може бути застосований для будь-яких систем числення, зокрема непозиційних систем числення. Другий шлях – розрахунковий,алевінможебутизастосованийтількидляодноріднихпозиційних системчислення.

2.3.1. Переведення цілих чисел

Нехай задане число A у довільній позиційній системі числення з основою dm і його потрібно перевести до іншої системи з основою d , подавшийогоувигляді:

29

де ai 0,1,...,d 1 – база нової системи числення. Враховуючи, що d 0 1, вираз можна записатияк

A and n an 1d n 1 ... a1d1 a0 .

Цей вираз можнатакожзаписати увигляді

A Ai d a0 ,

де A1 and n 1 an 1d n 2 ... a1 –ціла частиначастки; a0 –залишоквідділення A на d .

Цей залишок є цифрою молодшого розряду нового числа, яка записанавсимволах староїсистемичислення.

Якщо вказаний підхід застосувати до числа A1 і т.д., то отримаємо вираз – формулу Горнера:

A ... and an 1 d an 2 ... a1 d a0 .

Правилопереведенняцілогочислазоднієїсистеми численнядо іншої.Числопослідовноділятьнаосновунової системичислення, записану у початковій системі числення, до отримання частки, що дорівнює нулю. Числоуновій системі числення записується як послідовність залишків від ділення, починаючи з останнього.

Операцію ділення виконують упочатковій системі числення, томуїї зручновикористовуватидля переведеннядесятковихчиселдоіншихсистем

Результатпереведення буде: 2510 110012 318 .

30

Якщо необхідне переведення чисел до десяткової системи з інших систем числення, загалом зручнішевираховуватиполіном (2.2), виконавши всі операції за правилами десяткової арифметики. (Фактично використовуєтьсярозгорнутий записчислаудесятковій системічислення).

Приклад 2.2. Перевести числа 110010112 і 3138 додесяткової системи числення.

2.3.2.Переведення правильного дробу

Нехайзаданоправильнийдріб A ,якийнеобхідноперевестивсистему з основою d , записавшийогоувигляді:

Aa 1d 1 a 2d 2 ... a n 1d n 1 a nd n .

Зправої частини виразувинесемо d 1 за дужки і отримаємо:

A (a 1 a 2d 1 ... a n 1d n 1 a nd n 1)d 1.

Перемножимолівуі правучастинина d :

Ad a 1 a 2d 1 ... a n 1d n 2 a nd n 1.

Отже, перемноживши правильний дріб A на основунової системи числення d , отримаємоцілучастину a 1 , якаєпершим післякомичислом уновійсистемі числення. Рештачленівцьоговиразуєдробом, доякоготеж можна застосувати вказаний підхід і одержати формулу Горнера для правильнихдробів:

A d 1(a 1 d 1(a 2 d 1(... a nd 1)...)).

Правилопереведенняправильногодробузоднієїсистемичислення

до іншої. Правильний дріб множать на основу нової системи числення,

записаноївпочатковійсистемічислення.Далідробовічастинивідмноження послідовномножатьна основуновоїсистемичисленняОпераціюмноження виконуютьвпочатковій системічислення. Правильнийдріб уновійсистемі численнязаписуєтьсяякпослідовністьцілихчастинвідмноження,починаючи з першого.

31

Переведення закінчується, коли проміжний добуток дорівнює 0 у всіх розрядах абодосягнута необхідна точність, тобтоотримана необхідна кількістьрозрядіврезультатупіслякоми.

Приклад 2.3. Десятковий дріб 0,312610 перевести у двійковусистему численняз точністю до 2 4 .

0,6252 1,2504 0,5008 1,0016

Відповідно результатбудезаписанийяк: 0,312610 0,01012 .

2.3.3. Переведення змішаних чисел

Уразі переведення змішанихчиселз однієїсистемичисленняу іншу необхідно окремо перевести його цілу і дробову частини за відповідними правилами, а потім обидва результатиоб’єднати уодне числоуновійсистемі числення.

Наведені вище правила зручно використовувати, якщо потрібно переводити число із системи числення з більшою основою до системи числення з меншою основою.

Дляпереведеннячиселзсистемизменшою основоюдосистеми

з більшою основою використовується формула (2.1). Числозаписують у вигляді суми степенів основи системи числення, у якій воно зобра– жено, користуючись його позиційним записом, причому усі арифметичні дії виконуються у тій системі числення, у яку пере– водиться число. З цієї причини зручно переводити числа до десяткової системи числення, тому що всі арифметичні дії у ній і виконуються. Приклади переведення з використанням формули розкладу числа у повну форму наведені вище.

2.3.4. Особливості переведення вісімкових і шістнадцяткових чисел у двійкову систему числення і навпаки

Якщорозглянутитабл.2.3участинівісімковихідвійковихчиселвід 08

до 78 ,можназауважитиістинністьтакихдвохположень:

32

а) будь-яке однорозрядне вісімкове число можна записати у вигляді трирозрядногодвійкового; б) будь-яке трирозрядне двійкове число можна записати у вигляді однорозрядного вісімкового.

Аналогічно, такийсамий висновокможназробитиі дляшістнадцятковихчиселвід 016 до 1516 ,алеудвійковихчислахтребарозглядати чотири розряди.Група зтрьохдвійковихрозрядівназиваєтьсятріадою,азчотирьох двійкових розрядів – тетрадою. На підставі цих положень можна стверджувати:

Дляпереведеннявісімковихчиселдодвійковоїсистемичислення

необхідно кожну вісімкову цифру замінити еквівалентною їй двійковою тріадою(дляшістнадцятковихчисел–тетрадою).

Дляпереведеннядвійковихчиселдовісімковоїсистемичислення

необхіднодвійковечислорозділити натріадиправоручі ліворучвідкоми

(дляшістнадцяткових чисел–натетради). Якщоостанніліворуч іправоруч тріади(тетради)будутьнеповні,їхпотрібнодоповнитинулями.Потім кожну двійкову тріаду (тетраду) замінити одною еквівалентною їй вісімковою (шістнадцятковою)цифрою(див.табл.2.2.).

Переведення чисел з десяткової системи числення додвійкової можна виконуватизадопомогоюпроміжногопереведеннядовісімкової системичислення,апотімотриманевісімковечисло–удвійкове, тобто:

A10 A8 A2 .

Приклад 2.4. Десяткове число572перевестиудвійковусистемучислення.

572:8=71 (залишок = 4)

71:8=8 (залишок = 7) 8:8=1 (залишок = 0) 1:8=0 (залишок = 1)

Одержимо: 57210 10748 001 000 111 1002 .

Якпідсумок,застосуванняправилпереведеннячиселз однієїсистеми числення доіншої, що наводяться уцьомурозділі, можна звести до таких рекомендацій:

1. Загальнеправило(використанняопераціїділенняцілої частиниі множеннядробової частиничисланаосновусистемичислення,доякоїнаше число переводиться) зручніше використовувати для переведення чисел із десяткової системи числення до будь-якої іншої, тому що арифметичні дії виконуютьутійсистемічислення,уякій записанечисло,щопереводиться.

33

A10 Ax .

2. Переведення за формулою розгорнутого запису (2.1) зручно використовуватидляпереведеннянавпаки:–із будь-яких системичислення додесяткової, –бо переведення виконуєтьсяутійсистемі числення, доякої потрібно число перевести.

Ax A10 .

3. Переведення, з використанням поділуна тріади і тетради чисел у двійковомуформаті, зручновикористовуватиутакихвипадках:

A8 A2 A16 .

4.Числаз великоюкількістюрозрядівзручнопопередньопереводити

упроміжну систему:

велике A2 A8 A16 A10 . велике A10 A8 A16 A2 .

34

Контрольні запитання та завдання:

І. Знайдітьправильнувідповідь:

1.З якого боку від коми розміщені позиції цифр, які мають вагу, що дорівнює числу 10 в додатньому степені: а) праворуч; б) ліворуч; в)навпроти;г) питаннянекоректне?.

2.Що прийнято називати основою системи числення: а) найбільше число, яке можна використати; б) кількість символів, що використовується усистемі; в) число F в шістнадцятковій системі; г) число 8 в десятковійсистемі?

3.Щоєдоповненням числа0удвійковій системічислення?

4. Щоєосновоюдвійковоїсистемичислення: а) 1010 ; б) 12 ; в) 210 ;

г) 010 ?

5.Якез двохчисел більше: 11112 чи 1110 ?Дайтепояснення.

6.Яку операцію необхідно виконати для перетворення цілої частини числа з однєї системи числення у іншу: а) ділення; б) віднімання;

9.Доякоїкількостісимволівскорочуєтьсядвійковийзаписдвобайтового числа уразівикористання шістнадцятковихсимволів: а)до1; б)до2; в)до3; г)до4; д) до5; е) до6?

10.Ускількиразівзменшуєтьсядовжиназаписучиселуразіпереходувід двійкової системи подання до шістнадцяткової: а) у 6 разів; б) у5 разів; в) у4рази; г)у3 рази; д) у2 рази?

11.Звідкипочинаєтьсяподілнатріади двійковогочислауразі переведення його до вісімкової системи: а) від старшого вагового розряду; б) від

молодшого вагового розряду; в) від середини числа;

г)від коми ліворучіправоруч; д)від коми тількиліворуч; е)відкоми тількиправоруч?

12. Чимвідрізняютьсядвійковічисла 1012 , 01012 і 0000 01012 ?Якце може вплинути на результат двійкового додавання: а) перше менше,

35

другебільше,третєщебільше;б)першебільше,друге менше, третєщє менше;в) числарівні; г)числане можнапорівнювати?

13.Яка максимальна кількість розрядів необхідна для представлення результатудодаваннядвохвосьми-розряднихчисел:а)9; б)8; в)16; г)

10?

14.Які символи використовують у вісімковій системі числення:

а) 0 і 1 ; б) 1 8 ; в) 0 9 г) 0 7 ?

15. Яку кількість різних десяткових чисел можна подати восьмирозряднимдвійковимчислом: а)8; б)256; в) 99999999; г)1024?

ІІ. Визначитидесятковізначеннятакихчисел:

ІІІ.Такідесятковічислаперетворитиудвійкові,вісімковіішістнадцяткові (у дробовихчастинах чиселдосягтиточностідоодногобайта):

IV. Зазначтемінімальнуосновусистемичислення, доякоїможутьналежати числа:

1.1337783; 137773; 103301; 111011201; 103456,345601

2.315783; 317712; 123321; 101010201; 3456,345609;

3.103490607; 2577,72; 143341,01; 11101,1201; 103456,345601;

4.425,681; 22476; 123321; 1100220011; 333,354609;

5.12340607; 2577,72; 14334,1; 11101,1201; 10356,345601;

6.326,0685; 12576; 113311; 101110211; 444,125609;

7.47433,6354; 12323,321; 54432,4352; 1020101,101; 209156,452;

8.425132,23132; 1232112,31321; 76456,77; 1100201,10101; 129456,524;

9.432,123; 654723,6543; 11011101,10101; 102,11011; 5784,5973;

10.32412,543; 654,6573; 1102011,011; 3876,28954; 213213,211;

11.5231,324; 675312,634; 253318,324; 111211,0101; 54922,3267;

12.432125,32; 6137,54; 311222,182; 10001121,001; 31221,21921;

13.2134,21521; 3127,32; 124113,821; 110,201; 3451,095;

14.3112,145; 54437,654; 12121,3281; 10012,102; 5213,09;

15.131,11251; 123134,1071; 110121,8101; 11101012,11; 32491,458;

V. Перетворіть послідовно за вказаною схемою – A10 ? 8 ? 2

? 16 ? 10 – числа десяткової системи числення доінших з точністю до d 4 ( d – основасистеми числення).

38

РОЗДІЛ 3

ФОРМИ ПОДАННЯ ЧИСЕЛ У КОМП’ЮТЕРАХ

3.1. Поняття про “числа скінченої точності” і “машинне” зображення числа

Арифметика, яка застосовується у комп’ютерах, багато в чому відрізняється від арифметики, якою користюються люди. По-перше,

комп’ютери виконують операції над числами, точність яких скінчена і фіксована.По-друге, убільшостікомп’ютеріввикористовуєтьсянедесяткова, а двійкова система числення. Способи вирішення цих проблем будуть розглянутіуцьомурозділі.

Колилюдивиконуютьякі-небудьарифметичнідії,їхнехвилюєпитання, скількидесятковихрозрядівзаймаєтечиіншечисло.Фізики, дляприкладу,

можуть обчислити, що у Всесвіті існує 1078 електронів, і їх не турбує той факт, щоповнийзаписцьогочислапотребує79десяткових розрядів. Ніколи не виникає проблеми нестачі паперудля записубудь-якого числа.

Із комп’ютерами все інакше. У більшості комп’ютерів кількість доступної пам’яті для збереження чисел обмежена і залежить від моделі комп’ютера.Якщодокластизусиль,програміст зможеподаватичисла удва, триібільше разівбільші, ніжуможливлюєрозмірпам’яті,алеце незмінює суть цієї проблеми. Пам’ять комп’ютера обмежена, тому ми можемо працюватитількизтакимичислами,якіможнаподатиуфіксованійкількості розрядів. Такі числаназиваютьчисламискінченоїточності.

Розглянемо ряд додатних цілих чисел, які можна записати трьома десятковими розрядами без десяткової коми і без знака. У цей ряд входить рівно1000чисел:000,001,002,003, ...,999.Затакогообмеженнянеможливо виразитидеякітипичисел.Донихвходять:

1.Числа,більшіза 999.

2.Від’ємнічисла.

3.Дроби.

39