Конспект ТФКЗ

Наслідок. Нехай функції f z ,g z – аналітичні в області D і на послідов-ності

zn різних точок zn таких, що lim zn a D, співпадають, тобто

f zn g zn , n N . Тоді

n

f z g z , z D.

Аналітичне продовження

Нехай f x –

неперервна на a,b R функція

дійсної змінної. За

теоремою єдності на

комплексній площині в області D,

яка містить відрізок

заданих значень

f x для

x a,b . Функцію

f z

називають аналітичним

продовженням

функції

f x дійсної змінної

x

в комплексну область

x

2n 1

z

2n 1

sinx 1 n

, x R. Тому існує

sin z 1 n

, z C,

n 0

2n 1!

n 0

2n 1!

G

Нехай аналітичні функції f1 z , f2 z задані

відповідно в областях D1 та D2 і тотожньо

D1

співпадають між собою в області G D1 D2 Ø

D2

(рис.1). Функцію

f1 z ,

z D1,

Рис.1.

F z f

2

z ,

z D

2

на область

D1 D2.

Функцію

f1 z f2 z називають

також

аналітичним

продовженням функції

f2 z f1 z на область D1 D2

через

перетин G.

Відповідно до теореми єдності, аналітичне продовження F z функції f1 z на

область D1 D2 є єдиним.

функція f2 z , що

Отже,

якщо в області D2

існує така аналітична

аналітичної в області D1 D2.

Приклад. • Розглянемо два степеневих ряди

z i n

1

f1 z 1 n zn

і f2

z

1 n

.

n 0

1 i

n 0

1 i

Перший ряд збігається в крузі

z

1

і його сума f1 z

1

. Областю збіжності

1 z

другого ряду є круг

z i

1 i

, а його сума

f2 z

1

1

1

.

2

z i

1 i

1

1 z

У спільній частині цих кругів збіжності маємо:

1 i

f z f

2

z

1

.

1

1 z

Отже, f1 z , f2 z є аналітичними продовженнями одне одного. •

наприклад, область G1рис.2), в яких значен-

G1

ня функцій f1 z , f2 z

можуть бути нерів-

ними. Але, якщо f1 z

f2 z у всіх спіль-

D1

них точках областей D1

і D2, то функція

G

D2

f

z ,

z D ,

F z

1

1

f2 z ,

z D2

є аналітичним продовженням функції f1 z з

Рис. 2.

області D1 на область D1 D2.

Нехай тепер дано ланцюжок областей D1,D2,...,Dn

такий, що кожна пара

Dn 1

функції

fk z

з області Dk в область Dk 1,

fn z називається

D2

k 1;n 1. Тоді функція

аналітичним

продовженням

функції

D

Dn

f1 z в

область Dn

через

ланцюжок

розвиненні в таких областях функцій в ряд Тейлора.

f1 z . Виберемо довільну

Нехай в області D1 задана аналітична функція

точку z0 D1

і розвинемо функцію

f1 z в околі точки z0

в степеневий ряд

n

z0

cn z z0

n , де cn

f1

.

(5.5)

n!

n 0

Нехай R0 - радіус збіжності ряду (5.5), z0, 1

- віддаль від точки z0 до межі

області D1 1

D1 . Можливі такі два випадки.

1

1

z0

R0

D1

D2 R0

D1

D2 z0

Рис.4.

Рис.5.

1-й випадок. R0 z0, 1

(рис.4). У цьому випадку круг збіжності ряду

(5.5) є підобластю області D1.

2-й випадок. R0 z0, 1

(рис.5). У цьому випадку круг збіжності (об-

ласть D2) ряду (5.5) вже не буде підобластю області D1, а матиме з нею тільки

спільну частину G D1 D2 . В області

D2

збіжний степеневий ряд (5.5) ви-

значає аналітичну функцію f2 z

таку,

що

f2 z f1 z

для z G. Функція

f2 z є аналітичним продовженням функції

f1 z в область D2 через область

G. Отже, можна стверджувати, що в області D1 D2

визначено аналітичну

функцію

f

z ,

z D ,

F z

1

1

f2 z ,

z D2.

Отже, розвинення (5.5) виводить нас за межу області D1

первинного означення

аналітичної функції f1 z . Таку процедуру можна продовжувати до того часу,

Означення. Точка z0

D

називається правильною точкою функції

f z , якщо

існує збіжний степеневий ряд

cn z z0 n ,

який

у спільній

n 0

z z0

z0 z0 0

частині області D і свого круга збіжності

збігається до функції f z . Точки

z

,

які не є правильними для

D

функції

f z , називаються її особливими точками.

Якщо функція

f z є аналітичною в області

, то, очевидно, що всі

D

внутрішні точки цієї області є правильними. Точки

z Γ D можуть бути як

правильними, так і особливими точками функції

f z . Якщо точка z0 Γ є

z z0

z0 , також є правильними точками для функції f z .

Нехай аналітична функція

f z

початково задана в області D, межа якої

Γ . Якщо всі точки деякої ділянки

Γ є правильними точками для функції

f z , то, очевидно, що функцію

f z

можна аналітично продовжити через на

1

cn z z0 n

cn z z0 n

cn z z0 n , (6.1)

n

n

n 0

cn z z0 n ,

(6.2)

n 0

1

cn z z0 n .

(6.3)

f2 z cn z z0 n,

z z0

R2.

(6.4)

n 0

Знайдемо область збіжності ряду (6.3),

який називається головною час-

тиною ряду Лорана. Нехай z z0

1

. Тоді ряд (6.3) можна записати у вигляді

c n n , який за теоремою Абеля збігається у крузі

R до деякої аналі-

n 1

тичної функції :

c n n,

R.

Ввівши аналітичну функцію

f1 z z ,

z z0 1,

отримаємо, що го-

ловна частина ряду Лорана для z:

z z

R ,

1

R

збігається до аналі-

тичної функції f1 z :

0

1

R

1

f1 z c n z z0 n,

z z0

R1.

(6.5)

n 1

R1

z z0

R2, R1 R2, в

Отже, областю збіжності ряду Лорана є

кільце

якому він збігається до аналітичної функції

f z f1 z f2 z cn z z0 n c n z z0 n

n 0

n 1

cn z z0 n, R1

z z0

R2.

(6.6)

n

Якщо R1 R2, то ряд Лорана в жодній області не збігається до деякої

функції. Якщо R1 R2, то

ряд Лорана

може бути

збіжним лише на колі

z z0

R1.

Теорема. Функцію

w f z , аналітичну в

кільці R1

z z0

R2, можна

єдиним чином розвинути в ряд Лорана

1

f z

cn z z0 n

cn z z0 n cn z z0 n , (6.7)

n

n

n 0

коефіцієнти cn якого визначаються за формулами

cn

1

f d

,

(6.8)

2 i

z

0

n 1

і який є

рівномірно

збіжним у

будь-якому замкненому кільці

R1 1

z z0

2 R2,

де

коло

:

z z0

, R1 R2,

► Нехай z – довільна точка кругового кільця

R1

z z0

R2. Побудуємо такі кола

і

z

R2

z

,

1

2

з центрами в точці

0

і радіусами

1

2

відпо-

•

2

відно, що R1 1

z z0

2

R2.

Тоді за ін-

z0

тегральними формулами Коші для багатозв’язної

R1 1

області значення аналітичної функції

f z

дорів-

нює

1

f d

1

f d

f z

.

(6.9)

2 i

z

2 i

z

2

1

1) Розглянемо перший доданок у формулі (6.9)

J1

1

f d

1

f d

.

(6.10)

2 i

z

2 i

z

1

1

1

Розвинемо функцію

для

в ряд за степенями z z0 :

z

1

1

1

1

1

z

z

z z

z z

z0

0

0

0 1

k

z z0

1

z0

z0

k

.

(6.11)

z z

k 1

z z0

k

z z0

k

0

0

0

Ряд (6.11)

є рівномірно збіжним по

, оскільки

z0

1

1 і ця

1

z z0

z z0

Розвинемо функцію

1

при

в ряд за степенями z z0 :

z

2

1

1

1

1

z

z

0

z z

0

z

0

1

z z0

1

f d

J2 cn z z0 n , де

cn

.

(6.16)

2 i

n 0

z

0

n 1

2

Оскільки підінтегральні функції в обох інтегралах J1,J2

є аналітичними у

всередині кільця R1

z z0

R2

має місце

ще одне

розвинення

f z

bn z z0 n , де хоча

б один

коефіцієнт

bm cm. Тоді

для z, що

f z

bn z z0 n

cn z z0 n .

n

n

0,

n m,

отримаємо,

що bm cm, що суперечить

z z0 n m 1dz

,

2 i,

n m,

припущенню. Отже, розвинення в ряд Лорана є єдиним. ◄

Приклад 1. Розвинути функцію

f z sin

1

в ряд Лорана в околі точки

z 1

• Ряд Лорана отримаємо, замінивши z на

1

у розвиненні в ряд фун-кції

n z2n 1

z 1

sin z 1

:

n 0

2n 1!

1

1

1

sin

1 n

.

z 1

n 0

2n 1! z 1 2n 1

Ряд є збіжним у кільці

0

z 1

і рівномірно збіжним у будь-якому

замкненому кільці, яке повністю міститься всередині кільця збіжності. •

Приклад 2. Розвинути функцію

f z

ez

в ряд Лорана в околі точки

z 1 z 2

z0 1 і вказати область збіжності отриманого ряду.

▪ f z

ez