Конспект ТФКЗ

Нехай D C – деяка область комплексної площини

C (або, взагалі

кажучи, деяка множина комплексних чисел).

Означення.

Функцією комплексної змінної z

w f z ,

(1.1)

яка задана

в

області D, називається закон,

який кожному

значенню z

з області D ставить у відповідність одне або декілька

комплексних чисел w E.

Множину E комплексних чисел w, яка відповідає всім z D, називають

множиною значень функції

w.

Якщо

кожному

значенню z D ставиться у відповідність лише одне

комплексне

число

w E,

то функція називається однозначною. У

протилежному випадку функція називається багатозначною.

функцію w f z

комплексної змінної z x iy можна подати у вигляді

w f z u x,y i v x,y ,

де u u x,y Rew;

v v x,y Imw.

Якщо закон

w f z встановлює однозначну відповідність між облас-

z f 1 w g w ,

(1.2)

області

D z:

z

1; 0 argz

– чверть

одиничного кола на

2

площині z ei (рис.1). Побудувати область E.

Im z

Imw

D

1

w z2

E

1

Rew

O

Re z

1

O

Рис.1.

Рис.2.

випливає, що

відрізок 0 1, 0 дійсної осі z

перейде

у відрізок

0 r 1, 0

дійсної осі площини w; чверть кола 1,

0

– у півколо

2

r 1, 0 ; відрізок уявної осі 0 1,

– у відрізок 0 r 1,

2

від’ємної дійсної осі площини w; кожна

внутрішня точка області D – у

Введемо тепер

по аналогії з математичним аналізом поняття границі

функції комплексної

змінної w f z .

Нехай

функція w f z

визначена у

проколеному околі точки z0, тобто у

кільці

D:0

z z0

R.

Розглянемо

довільні послідовності

zn 1 , границя яких

lim zn z0.

Такі

послідовності

n

породжують послідовності wn 1 ; wn f zn значень функції w f z .

Означення 1.

Комплексне число

w0 i

називається границею функції

w f z

в точці z0,

якщо, незалежно від вибору

збіжної до z0

послідовності zn 1 ,

zn D, послідовність

wn 1 ; wn f zn

збігається до w , тобто з

умови

lim z

n

z

0

випливає, що

0

n

lim w w . Записують це у вигляді

n n

0

lim f z w0

i .

(2.1)

z z0

Зауважимо, що при такому означенні точка z0

не обов’язково є точкою, в

якій функція w f z визначена.

Означення 2 (границя по Коші). Число w0

називається границею функції

w f z в точці z0, якщо:

0

0: z D 0

z z0

f z w0

.

(2.2)

існуванню двох границь

lim

u x,y ,

lim

v x,y , причому

x, y x0, y0

x, y x0,y0

lim f z

lim

u x,y i

lim

v x,y i .

z z0

x, y x0, y0

x, y x0, y0

Якщо

lim

f z 0, то кажуть, що функція

f z

є нескінченно малою.

z z0

f z є нескінченно великою (по модулю).

Якщо lim

f z , то функція

z z0

w f z визначена лише в

Зауваження. Якщо точка z0

є межовою,

а функція

області D (тобто у внутрішніх точках),

то в означенні (2.2) під

,z0 -

околом точки розуміють ті точки околу, які належать області D.

Нехай функція

w f z

є визначеною в околі

нескінченно віддаленої

точки z0 розширеної комплексної площини

, тобто в області

z

R0. Тоді

C

граничну рівність

lim

f z A символічно записують так:

z

0 R R R0 :

z

R

f z A

.

(2.3)

зивається неперервною в точці z0, якщо

lim f z f z0 :

z z0

lim

f z f z0 0 0: z:

z z0

f z f z0

(3.1)

z z0

Неперервність функції комплексної змінної w f z u x, y iv x, y у

точці

z0 є еквівалентною неперервності двох дійсних функцій двох змінних

u x, y та v x, y в точці x0, y0 .

Якщо функція w f z визначена і неперервна у кожній точці z D, то її

lim f z0 0

(3.2)

z 0

Якщо точка z0 є межовою, тобто z0 D, то прирости

z z z0

будуються тільки для тих точок z, які належать області D.

вольняє умову w x z . Це означає, що lim w 0 . Оскільки точка z0 є

▪

Розглянемо довільну точку z0 і побудуємо

приріст z z z0

. Тоді

приріст

функції w Rez Rez0 Re z0 z Rez0

x0 x x0 x

задо-

змінних. Так, сума

і добуток двох

неперервних

в

області

D

функцій

комплексної змінної

f1 z і

f2 z є

неперервними

в

області

D;

функція

z

f1

z

є неперервною в тих точках області D, де f2 z 0; суперпозиція

f2

z

функцій комплексної змінної w f z ; g w f z є

неперервних

Означення 3.

Неперервна однозначна функція комплексної змінної w f z

називається однолистою в області D C, якщо для всіх різних

точок z1 z2 ,

z1 D, z2 D,

f z1 f z2 .

Твердження: Якщо w f z

однолиста в D і відображає область D в область

E, то в області E існує обернена функція z f 1 w для всіх z D і для всіх

w f z E,

тобто відображення, що здійснюється однолистою функцією є

компактній множині, то вона обмежена, а її модуль досягає своїх

найбільшого і найменшого значень.

Доведення. ► Нехай функція w f z є неперервною для

z C.

t x, y є дійсною неперервною функцією двох

Функція

f

u2 x, y v2 x, y

на

кривій z z t , t , , якщо неперервними на

,

є

функції u t Rew z t і v t Imw z t . (Якщо крива

z z t

є

замкненою, то z z ).

Розглянемо обмежену замкнену область

D, межа

якої 1 2 ... n. В області D визначена

неперервна функція w f z u x,y iv x,y , тобто

1

n

функції u x, y та v x, y є неперервними в областіD.

Нехай функції u x,y та v x, y можна доозначити на

межі

так, щоб отримати функції, неперервні у замк-

неній

області

. У такому випадку говорять, що

D

функція комплексної змінної w f z є визначеною

f z

i

z

e

2 , 0 в області

D

.

•

Маємо

u x, y Re f z

cos

,

v x, y Im f z

sin

,

де

y

2

2

x2

y2

,

arctg

. Ці функції є неперервними всюди в області D,

а це

x

означає,

що функція

f z

є неперервною в D. Довизначимо функцію

z

f z f ei

ei

2

для

2, 0 (на півкрузі);

2

f z f ei

для

0 x 2, 0

x ;

x

f z f ei i

для

2 x 0,

x

.

x

Отже, функція

f z

z

є неперервною в області D. •

Приклад 3.

Нехай D – круг

z

2 з розрізом вздовж відрізка 0, 2 . Дослідити

f z

i

функцію

e

2 , де 0 2 , z ei на неперервність в

.

z

D

окремих гілок таких функцій.

D функція f1 z називається

Означення. Однозначна і неперервна в області

однозначною і неперервною гілкою багатозначної функції f z ,

якщо значення

f1 z в кожній точці z D співпадає з одним із

значень функції

f z в цій точці.

w f z

Якщо для заданої багатозначної функції

існує хоча б одна

однозначна і неперервна гілка у заданій області

D, то говорять, що функція

f z допускає виділення однозначних і неперервних гілок в області D.

Розглянемо функцію w Argz arg z 2 k, k N , яка є визначеною на

всій комплексній площині C,

за виключенням точок z 0

і z . Виділимо

одну гілку цієї функції – головне значення w argz, тобто

0 Argz 2 . Така

однозначна гілка argz є визначеною для всіх z,

за виключенням точок z 0 і

однозначною (однолистою) гілкою багатозначної функції

w Argz.

У такій

області функція w argz є неперервною.

Kr z0 z :

r – круг, який

Зафіксуємо

точку

z0 D. Нехай

z z0

лежить в D і не перетинається з віссю Im z 0, Rez 0. Тоді для z Kr

argz argz0

.

z z0

2

z

2

z0

2

z

z0

2

z z0

2

z

2

z0

2

Оскільки

2

cos , то cos

1.

2

z

z0

z z0

Це означає,

що

0 при

z z0, що говорить

про неперервність

головної гілки функції w Argz.

1. Лінійна функція: w az b,

a,b C,

a 0.

Область визначення функції:

D: z C.

Якщо покласти w , то

Rew x Rea Reb y Ima,

Im w y Rea Imb x Ima.

Ці

функції є

неперервними

для x, y,

що

означає,

що функція

комплексної змінної w az b є неперервною на всій комплексній площині.

Функція w az b є однолистою: якщо z1

z2

az1 b az2 b

w1 w2 . Це означає, що відображення

D E є взаємно однозначним, а тому

існує функція, обернена до лінійної:

w b

z f 1 w

.

Розглянемо функцію

a

w1 az

a

z

cos arga argz i sin arga argz .

Відображення w1 az кожному комплексному числу z

ставить у відповідність

комплексне число az, модуль якого більший в

a

раз, а аргумент дорівнює сумі

argz і

постійного

доданка arga.

Геометричний зміст цього

перетворення

Функція w zn є неперервною на всій комплексній площині C. Справді,

для z C, z C,

z

приріст w z z n z n n z zn 1 ... 0 для

z 0.

w zn не є однолистою, оскільки, якщо покласти z ei , то

Функція

w n ein ,

тобто

w

n, argw nargz. Це означає, що промені argz, які

площини w. Отже, для однолистості відображення

w zn

в деякій області

D C,

необхідно і достатньо, щоб область

D не

містила

точок

z1 і z2,

пов’язаних співвідношеннями

2

z

z

,

argz argz

k, k Z .

1

2

1

2

n

Такій умові відповідають сектори

2

k argz

2

k 1,

k

.

0,n 1

n

n

Функція

w zn обидві межі

такого сектора відображає на промінь

argw 0,

комплексну площину w вилученим променем argw 0

(з вирізаною піввіссю

0 Rew , Imw 0). Це означає, що областю однолистості функції w zn

є

область D z C,

0 argz 2 n , яку відображення

w zn переводить в

область E w C\ Imz 0, 0 Rez .

3. Функція w n

,

n N .

z

Функція w n

є оберненою до функції w zn .

z

Область визначення: D: z C.

Область значень : E : w C.

За теоремою про неперервність оберненої функції

функція w n

є

z

неперервною в області,

в якій обернена функція w zn

є неперервною

та

відображення w n

переводить в сектор

2

k argw

2

k 1 . Точки z 0 і

z

n

n

z є точками галуження для функції

w n

(в цих точках багатозначна

z

Дійсна Rew ex cos y

та уявна

Imw ex sin y частини

показникової

функції w ez

визначені і

неперервні

для x,y R2. Тому

показникова

функція w ez

є неперервною на всій комплексній площині.

Знайдемо область однолистості. Нехай

ez1 ez2 , де z

x

iy ,

z2 x2 iy2. Тоді

1

1

1

x

x

2

cos y1

cos y2 .

1

sin y1

sin y2

Це означає, що

x1 x2 і

y1

y2

2 k, k Z .

Тому

областю

однолистості

функції

w ez

є будь-яка смуга

шириною 2 ,

сторони якої паралельні до

дійсної осі, наприклад, область D z C,

0 Imz 2 . Цю область відобра-

ження

w ez

переводить

у

всю комплексну

площину

з розрізом

C\ Imw 0, 0 Rew (див. рис.).