Конспект ТФКЗ

z

Im z

w

Imw

O

Rez

O

Rew

argz, і ln

z

, як багатозначна функція

x

2

y

2

u Rew ln

, v Imw Argz .

Точки z 0

і z є її точками галуження.

дійсної осі, тобто в області

D z

C \ Imz 0, 0 Rez . Справді,

функції u Rew ln

z

та

v Imw argz arctg

y

є неперервними для

x

x, y D.

6. Тригонометричні функції w sin z,

w cosz,

w tgz, w ctgz.

З формул Ейлера

eiz

cosz isinz,

e iz

cosz isin z

знаходимо

eiz e iz

eiz e

iz

sin z

cosz

,

,

2i

2

tgz

sin z

,

ctgz

cosz

.

cosz

sin z

Для так визначених тригонометричних функцій виконуються усі формули

елементарної тригонометрії, зокрема, основна тригонометрична тотожність

sin2 z cos2

z 1.

Розглянемо функцію w sin z.

Область визначення: D: z C (див. означення).

Область значень : E : w C.

Нехай z x iy. Тоді для z C

w u iv

1

eixe y e ixey

1

e y cosx isin x ey cosx isin x

2i

2i

i

cosx e y

ey isin x e y

ey chy sin x ishy cosx,

2

Rew chy sin x,

Imw shy cosx.

Оскільки функції

chy, shy

набувають як завгодно великих значень, то

є необмеженою на всій площині.

функція

w

sinz

ch2ysin2 x sh2ycos2 x

В той же час зберігається періодичність функції w sin z.

Тригонометричні

функції

w sin z, w cosz є

неперервними на всій

комплексній площині.

Рівняння sinz 0

має розв’язки

z k, k Z . Справді, розглянемо

рівняння

eiz

e iz

e iz e2iz 1 0.

sin z

1

2i

2i

eiz1 e iz1 eiz2 e iz2 eiz1 eiz2 e iz1 e iz2 ,

eiz2 ei z1 z2 1

1

ei z1 z2 1 e iz1 ei z1 z2 1

iz

e

1

ei z1 z2 1 ei z1 z2

1e iz1 0 ei z1 z2 1, ei z1 z2

1.

D z C :

Rez ; Imz 0 .

z

Im z

w

Imw

O

Rez

1 O

1

Rew

Функція w sin z є не обмеженою у комплексній площині:

lim

sinz .

Функції w tgz і

w ctgz

Imz

визначені і неперервні на

всій

комплексній

w shz

1

ez e z ,

w chz

1

ez e z ,

2

2

w thz

shz

,

w cthz

chz

.

chz

shz

shz i siniz,

chz i cosiz,

thz i tgiz,

cthz i ctgiz.

Це означає, що гіперболічні функції

w shz, w chz

визначені на всій комп-

функція w thz визначена для z

лексній площині;

k i, k Z ; функція

2

w cthz визначена для

z ki, k Z . Функції w shz,

w chz є періодичними

з періодом 2 ki, а w thz, w cthz – з періодом ki.

8. Загальна степенева функція w za, a C,

a i .

Для дійсних значень x та справедлива формула

x e ln x. Природно

аналогічно визначити функцію комплексної w za z 0 :

Якщо a

w za eaLnz ea ln

z

iargz 2 ki ,

k Z .

і

не є раціональним числом,

то

степенева функція є

нескінченнозначною, а точки z 0, z є її точками

галуження. Якщо a і

w az ezLna ezlnaeziArga,

a C \ 0,1 .

i i

i2 k

2 k

ii eiLni e

2

e 2

, k Z .

i i

i2 k

2 k

ii eiLni e

2

e 2

, k Z . •

скінчена границя різницевого відношення

w

f z0 z f z0

для z x i y 0,

z U z0

.

z

z

Таку

границю

називають

похідною функції w f z в точці

z0

і позначають f z0 , тобто

f z0 lim

f z0

z f z0

lim

w

.

(1.1)

z

z 0

z 0 z

За означенням границі функції рівність (1.1) означає, що

w f z0 z f z0 f z0 z o z ,

(1.2)

lim

o z

lim

z z

0,

(1.3)

z 0

z

z 0

z

що еквівалентно рівності

o

z

.

lim

0, де

z

x 2 y 2

z 0

z

Означення 2. Функція w

f z

називається диференційованою в точці

z0,

якщо вона визначена в деякому -околі U z0,

точки z0

і її

приріст w f z0

z f z0 можна подати у вигляді

w A z o z ,

(1.4)

диференційованою у точці z0 C,

має скінчену похідну

f z0 A в цій

точці. І

навпаки, якщо функція w f z

має похідну f z0

в точці z0, то

вона є

диференційованою в цій точці.

• Оскільки приріст w f z0 z f z0 C C 0, то

lim

w

0.

Це означає, що похідна функції w f z C існує для z C

z 0 z

0. •

і C

z U z0 ,

w z0 z z0 z0 z z0 z,

а різницеве відношення

w

z

x i y

.

z

z

x i y

w

x

Нехай y 0, тобто

z x. Тоді

lim

lim

1. Якщо тепер

z 0 z

x 0 x

покласти x 0, тобто z i y, то

lim

w

lim

i y

1.

z 0 z

y 0 i y

1.

Сума функцій w f z g z є моногенною функцією в точці z0 і існує

(1.5)

f z g z z0 f z0 g z0 .

2.

Добуток функцій w f z g z є моногенною функцією в точці z0 і

.

(1.6)

f z g z z0 f z0 g z0 f z0 g z0

f z

f

z

g z

f z

0

0

0

g z

0

z

0

.

(1.7)

g z0

2

g z

4. Суперпозиція моногенних в точці

z0

функцій є моногенною функцією:

якщо функція

f z є моногенною у точці

z0, а функція g є моногенною у

точці f z0 , то функція F z g f z також є моногенною в точці z0 і

F z F f z0

f z0 .

(1.8)

§ 2. Необхідні та достатні умови існування похідної. Умови Коші-

Рімана

Нехай w f z u x, y iv x, y . З’ясуємо, які умови повинні задоволь-

няти функції u x, y та

v x, y ,

щоб функція w u x, y iv x, y була моно-

генною в точці z x iy C.

Теорема

2.1.

Нехай

в

околі

точки

z0 x0

iy0

C задано

функцію

w u x, y iv x, y , а функції u x, y

та

v x, y мають в цьому

околі

неперервні

частинні

похідні.

Для того, щоб функція

w f z була моногенною в точці

z0, необхідно і достатньо,

щоб в цій точці виконувалися умови Коші-Рімана:

u

v

,

u

v

.

(2.1)

Доведення.

x

y

y

x

► Необхідність.

Якщо функція w f z моногенна в точці z0

x0 iy0, то, незалежно від

способу прямування z до нуля, існує

f z0

lim

f z0 z f z0

.

z 0

z

Спрямуємо спочатку

z

до нуля так, щоб наближатися до точки

z0 вздовж

горизонтальної прямої Imz y0. Тоді

y 0, z x0 x iy0 x0 iy0 x,

f z0

lim

u x0 x,

y0 iv x0

x,

y0 u x0, y0 iv x0, y0

(2.2)

x 0

x

u x

0

x,y

0

u x

0

,y

0

v x

0

x,y

0

v x

0

,y

0

u

v

lim

i

i

.

x

x

x

x

x 0

x0,y0

x0,y0

Якщо тепер спрямувати z

до нуля так,

щоб наближатися до точки z0 вздовж

вертикальної прямої Rez x0, то x 0,

z i y. Аналогічно до попереднього

отримаємо

f z0

v

i

u

.

(2.3)

y

y

x0,y0

x0,y0

Оскільки функція w f z

моногенна в точці z0, то, прирівнюючи (2.2) і

(2.3), отримаємо, що

u

v

,

v

u

.

x

y

x

y

x0,y0

x0,y0

x0,y0

x0,y0

Достатність.

Функції u x, y

та v x, y мають неперервні частинні похідні в точці

z0.

Тому повні прирости функцій u x, y , v x, y ,

за

відомою з

математичного

аналізу теоремою, дорівнюють

u

u

2

2

u

x

y

o

x

y

,

x 0, y 0,

x

x0,y0

y

x0,y0