Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект ТФКЗ

.pdf

Скачиваний:

105

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

функція f z є аналітичною в області D . Оскільки область D довільна, то функція f z аналітична в області D.

Зауважимо, що для m N залишок rm z f z n z є аналітичною

n 1

функцією в області D як різниця аналітичних функцій.

2) Виберемо довільну точку z0 D і оточимо її замкненим кусковогладким контуром Γ D таким, щоб точка z0 була внутрішньою. Для точок z Γ виконується рівність

f z n z .

n 1

Нехай

z0,z

–

віддаль

від

точки

до

точок

контуру Γ , а

d min z0,z 0. Тоді

z z0

d 0

для z Γ . Розглянемо ряд

f z

n z

(2.7)

z z0 k 1

Оскільки

n 1

n z

n N z Γ

d k 1

n z

z z0 k 1

і за умовою

теореми

функціональний ряд

то за ознакою

n z

f z

n 1

Вейєрштрасса функціональний ряд у правій частині (2.7) є мажорованим, а тому рівномірно збіжним на контурі Γ . За властивістю 2 (теорема 2.5) рівномірно збіжних функціональних рядів

f z

n z

z0 .

dz f

2 i

k 1

Γ z z0

n 1

2 i

Γ z z0

n 1

Оскільки точка

є довільною внутрішньою точкою області

то пункт 2

доведено.

3) Нехай – довільна замкнена підобласть області D, – довільний

кусково-гладкий

замкнений

контур, z,

d 0

–

віддаль

від

довільної

точки

z до точки

d min z, 0.

Залишок

rn z

функціонального ряду (2.1) є аналітичною функцією в області D, тому, згідно з

пунктом 2 теореми

r k z

d .

z k 1

2 i

Ряд (2.1) збігається рівномірно в D, тобто для

Тоді

0 N0 : n N0

k z

2 i z k 1

k 1

2 dk 1

де L d – довжина контуру . З останньої нерівності випливає, що існує

lim rnk z 0 lim rnk z 0,

n n

а це означає, що ряд nk z збігається рівномірно у підобласті . ◄

n 1

Зауваження. Останнє твердження доведене для випадку, коли – довільна замкнена підобласть області D, тобто не співпадає з областю D. Рівномірна

збіжність функціонального ряду в замкненій області D не забезпечує рівномірної збіжності в цій області ряду, утвореного з похідних функцій.

		n						n 1
Наприклад, ряд	z		збігається рівномірно в крузі	z	1, а ряд		z		,


n 1n2						n 1		n

утворений з похідних членів цього ряду, є абсолютно збіжним всередині круга

і розбіжним на колі

Ознаку Вейєрштрасса (теорема 2.5) можна поширити і на випадок замкненої області D.

Теорема 2.7 (друга теорема Вейєрштрасса). Нехай функції n z є аналітич-

ними в області

D і неперервними в області

, а ряд (2.1)

n z

n 1

рівномірно збігається на межі D цієї області. Тоді ряд (2.1) збігається

рівномірно в області

Доведення.

► Частинна сума

даного

функціонального

ряду

Sm z n z є

n 1

функцією аналітичною в D і неперервною в

. Тому Sm p z Sm z

є також

аналітичною функцією

в D і

неперервною в

. За

умовою

теореми

функціональний ряд n z рівномірно збігається на межі D, тобто для

n 1

0 N0 : m N0 p 0 D,

Sm p Sm m 1 ... m p .

За теоремою про максимум модуля аналітичної функції маємо

Sm p z Sm z Sm p Sm ,

тобто для ряду n z всюди в області D виконується критерій Коші

n 1

рівномірної збіжності ряду:

0 N0 : m N0 p 0 z D Sm p z Sm z .

Отже, всюди в області D ряд (2.1) збігається рівномірно. ◄

Приклад 1. Знайти область абсолютної збіжності ряду

• За ознакою Даламбера маємо

n 1

z 2 n

z 2

lim

z 2 n 1

z 2

Отже, ряд є абсолютно збіжним зовні кола

На колі

z 2

1 заданий

ряд набуває

вигляду

ряду

1, який є

розбіжним. Отже, областю абсолютної збіжності ряду є

z 2

1.•

n 1

Приклад 2. Знайти область абсолютної збіжності ряду

n 1

• За ознакою Даламбера знайдемо області збіжності кожного з рядів:

zn 1

2n zn

lim

2n 1zn 1

На межі області збіжності

1 і

відповідні ряди є розбіжними.

Отже,

областю абсолютної збіжності заданого ряду є область 1

Приклад 3. Знайти область абсолютної та рівномірної збіжності ряду

e n 1 z

n 1 n

• За ознакою Даламбера:

lim

Rez 0.

n 1 2 enz


На межі області збіжності для Rez 0 ez 1					1
	ряд						є збіжними. Отже,
					2
			n 1n
областю абсолютної збіжності заданого ряду є півплощина Rez 0.
Оскільки для всіх z, для яких Rez 0		enz	1

	,					, то ряд є збіжним
		n2		n	2

абсолютно і рівномірно в області Rez 0.•

§ 3. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Властивості степеневих рядів

Важливе місце в теорії функціональних рядів у комплексній області займають степеневі ряди, для яких n z cn z z0 n, де cn – деякі комплексні сталі, а z0 – фіксована точка комплексної площини, тобто степеневий ряд – це ряд виду


cn z z0 n .	(3.1)
n 0
Комплексні числа cn називають коефіцієнтами,	z0 – центром ряду.

Члени ряду (3.1) є аналітичними функціями, то для дослідження властивостей степеневого ряду, необхідно встановити область його рівномірної збіжності. Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд (3.1) збігається в деякій точці z1 z0, то

він

абсолютно

збігається

для

всіх

що задовольняють

умову

z z0

, тобто всередині кругової області з центром в точці

z0,

межа

якої

проходить

через

точку

z1.У

замкненому

крузі

z z0

z1 z0

ряд (3.1) збігається рівномірно.

Доведення.

z C,

► Виберемо

довільну точку

яка

задовольняє

умову

z z0

z1 z0

, і

розглянемо ряд (3.1). Нехай

z z0

z1 z0

, q 1. За

умовою теореми ряд (3.1) є збіжним в точці z

, тобто

lim c

послідовність cn z1 z0 n

Оскільки будь-яка

збіжна

є обмеженою,

то

M 0: n N

z z

n M і

n N

z z

Тоді

cn z z0 n

z z0

z1 z0

n M qn, q 1.

n 0

Оскільки ряд qn для q 1 збігається, то ряд (3.1) є абсолютно збіжним.

n 0

Покажемо, що

степеневий

ряд

(3.1)

збігається

рівномірно

крузі

z z0

z1 z0

. У цьому крузі ряд є мажорованим:

z z0

n N

z z0

z z

Ряд

z1 z0

є збіжним для

тому за

ознакою Вейєрштрасса

n 0

z1 z0

степеневий ряд (3.1) є рівномірно збіжним у крузі

z z0

z1 z0

. ◄

З теореми Абеля випливають такі наслідки.

Наслідок 1. Якщо степеневий ряд (3.1)

є розбіжним в точці z z2,

то він є

розбіжним

і для будь-якого

значення z,

що

задовольняє

умову

z z0 z2 z0 .

Доведення.

► Доведемо наслідок 1 від протилежного. Нехай z: z z0 z2 z0

степеневий ряд (3.1) збігається. Тоді за теоремою Абеля степеневий ряд повинен збігатися і в точці z z2, що суперечить умові теореми. ◄

Нехай R sup z z0 , де z – точки збіжності степеневого ряду (3.1). Якщо

R , то

існують такі точки z C:

z z0

R, в яких степеневий ряд (3.1)

розбігається. Нехай

R 0.

Тоді найбільшою областю абсолютної збіжності

степеневого ряду буде круг

z z0

R. Область

z z0

R, R 0

називають

кругом збіжності, а

R –

радіусом збіжності степеневого ряду. На межі

z z0

питання

про

збіжність

степеневого

ряду вимагає

окремого

дослідження.

У найпростіших випадках радіус збіжності ряду (3.1) можна знайти, застосовуючи ознаки збіжності Даламбера або Коші:

за ознакою Даламбера

lim

cn 1

R n

за ознакою Коші

lim n

Якщо l 0 R , тобто кругом збіжності є вся комплексна площи-на; якщо l R 0, тобто ряд є збіжним лише в точці z z0.

Наслідок 2. У крузі збіжності

z z0

R будь-якого радіуса R сте-

пеневий ряд (3.1) збігається рівномірно до аналітичної функції f z (за першою теоремою Вейєрштрасса).

Наслідок 3. Степеневий ряд (3.1) всередині круга збіжності можна почленно інтегрувати і диференціювати довільну кількість разів і радіус збіжності при цьому залишається незмінним.

Наслідок 4. Коефіцієнти степеневого ряду (3.1) виражаються через суму ря-ду f z та її похідні в точці z0 за формулою

k z0

(3.2)

f z0 c0.

Внаслідок

неперервності

суми

ряду

неперервних

функцій,

f z0 c1. Аналогічно,

Знайдемо

f z ncn z z0 n 1 .

Тоді

поклавши

n 1

z z0

виразі

f k z n n 1... n k 1 cn z z0 n k , отримаємо, що

n k

k!ck

f k z0

Приклад.

Дослідити на збіжність ряд

z z0 n

і знайти його суму.

n 0

cn 1

•

Оскільки

cn 1, а

lim

1 R 1,

то областю збіжності

z z0

ряду буде круг

всередині якого ряд збігається до аналітичної функції

f z . За означенням сума ряду

f z lim S

lim

1 z z

m 1 z z0

Оскільки

z z0

1, то lim

z z0

m 0

lim z z0 m 0. Тому існує

lim

Sm z f z

z z0 n .•

1 z z

n 0

§ 4. Ряд Тейлора. Теорема єдиності

Оскільки степеневий ряд всередині круга збіжності збігається до аналітичної функції, то природно з’ясувати, чи можна аналітичній всередині деякого круга функції f z поставити у відповідність степеневий ряд, який в цьому крузі збігається до функції f z .

Теорема Тейлора. Функція комплексної змінної

f z , яка є аналітичною у

крузі

z z0

єдиним чином розвивається в цьому крузі у сте-

пеневий ряд (3.1), коефіцієнти cn якого обчислюють за формулою

f d

f n z

(4.1)

2 i

z0 n 1

де – довільний кусково-гладкий замкнений контур, який оточує точку z0 і повністю належить кругу z z0 R.

Доведення.

► Нехай z

– довільна точка круга

z z0

Оточимо точку z0

колом C :

z z0

R так,

щоб точка

лежала

всередині цього круга.

•

Оскільки точка

є точкою аналітичності функції

f z , то за формулою Коші маємо:

f d

f z

(4.2)

2 i

Оскільки			z z0			, а		z0			, то				z z	0
															z z	0
															z0
															z0
1					1					1			1
	z	z		0		z z	0		z			0	1	z z0
				0			0					0	1

1	для z і
	1	z z		0	n



			z0		.
z0 n 0

Підставивши отриманий вираз у (4.2) і проінтегрувавши почленно, отримаємо

z z0

f z

2 i

n 0

z z0 n

cn z z0 n ,

n 1

2 in 0

n 0

де

f n z

(4.3)

2 i

n 1

Оскільки

функція

f z

є аналітичною у

двозв’язній області

z z0 n 1

z z0

то в силу теореми Коші коло C

в останній формулі можна

замінити

довільним замкненим

контуром D:

z z0

R. Оскільки z –

довільна точка області D, то степеневий ряд cn z z0 n , коефіцієнти якого

n 0

визначаються за формулами (4.3), збігається до функції f z . Отже, аналітична в крузі z z0 R функція f z , розвинена у степеневий ряд (3.1) – ряд Тейлора

– з коефіцієнтами, які обчислюють за формулами (4.3). У крузі z z0 R

цей ряд є рівномірно збіжним.

Покажемо, що таке розвинення єдине. Припустимо, що в крузі z z0 R

для аналітичної функції f z є два розвинення в ряд Тейлора:

f z cn z z0 n bn z z0 n .


		n 0			n 0

Оскільки степеневий ряд		bn z z0 n		є збіжним у крузі				z z0	R, то
Оскільки степеневий ряд		bn z z0 n		є збіжним у крузі				z z0	R, то
		n 0
		b	f n z0		c	n	.
		b			c		.
		n		n!
Отже, розвинення функції f z в ряд Тейлора є єдиним. ◄
Доведена теорема встановлює взаємно однозначну відповідність між
функцією f z ,	аналітичною у деякому околі						U z0 точки		z0 і степеневим
рядом (рядом	Тейлора)	з центром		в точці			z0. Це дозволяє встановити

еквівалентність поняття аналітичної функції, як функції диференційованої нескінченну кількість разів, та функції, яка є сумою степеневого ряду.

Приклад. Розвинути функцію f z ln z

в ряд Тейлора в крузі

z 1

•

Для z C\ Imz 0, Rez 0 ,

а,

значить,

і в крузі

z 1

функція

f z ln z є аналітичною. Знайдемо cn

f n z

для z 1:

c0 ln1 0; c1

lnz

1; ...;

z 1

1 n 1

n 1!

1 n 1

; ,n 2,3, .

z 1

Отже, ln z 1 n 1 z 1 n .•

n 1 n

§ 5. Нулі аналітичної функції. Властивість єдиності. Поняття про аналітичне продовження

Вивчаючи властивості аналітичних функцій, ми встановили, що для означення функції комплексної змінної, аналітичної в деякій області D, можна задати її значення на всій області (інтеграл Коші дає вираз для аналітичної функції в області через її значення на межі області). Природно поставити задачу

– чи існує ”мінімальна“ інформація, яку треба мати, щоб повністю визначити функцію комплексної змінної, аналітичну в деякій області. Щоб з’ясувати цей факт, розглянемо поняття нуля аналітичної функції.

Означення 1. Нехай функція комплексної змінноїw f z – аналітична у деякій області D. Точку z0 D називають нулем функції f z , якщо

f z0 0.

Розвинувши функцію f z в околі точки z0 в ряд Тейлора і врахувавши, що f z0 0, отримаємо, що c0 0 і

f z cn z z0 n z z0 c1 c2 z z0 c3 z z0 2 ... z z0 z , (5.1)

n 1

де z0 0 і z cn z z0 n 1 є аналітичною в околі точки z0 функцією.

n 1

Означення 2. Точку z0 називають нулем порядку k , якщо у розвиненні (5.1)

c0 c1 ... ck 1 0, а cn 0 для n k .

У цьому випадку розвинення функції f z в ряд Тейлора матиме вигляд

f z cn z z0 n z z0 k ck ck 1 z z0 ... z z0 kg z , (5.2)

n 0

де g z cn k z z0 n – функція, аналітична в околі точки z0 і g z0 0.

n 0

Теорема єдиності.

Нехай функція комплексної змінної f z аналітична в об-

ласті D і в цій області існує така послідовність різних точок zn , що

lim

zn a, a D і f zn 0, n N . Тоді f z 0 для z D.

Доведення.

► Нехай круг

z a

R і коло R :

z a

R належать області D. Тоді в

цьому крузі

f z cn z a n ,

(5.3)

f n a

n 0

де c

і радіус збіжності R

ряду (5.3) не менший за віддаль від точки

lim zn a,

а функція f z неперервна в

до межі області.

Оскільки існує

області D, то існує

lim f zn f a 0, тобто точка

a є нулем функції

f z .

zn a

Це означає, що у розвиненні (5.3) c0 0 і

f z z a z ,

(5.4)

де

z cn 1 z a n . Всі точки

zn, n N різні і zn a для n, а тому з

n 0

маємо, що zn 0. Оскільки функція z неперервна в точці

(5.4) для z zn

то

a lim

zn 0 c1 0

z z a 1 z ,

де

zn a

1 z cn 2 z a n . Аналогічно

до

попереднього,

можна показати,

що з

n 0

умови 1 zn 0 випливає,

що c2 0.

Продовжуючи цей процес, отримаємо,

що cn 0

для n, звідки випливає, що

f z 0 всюди в крузі

z a

Покажемо тепер, що

f z 0

всюди в області

D. Нехай z0 – деяка

довільна точка області D, що лежить поза колом

z a

R. З’єднаємо точки z0

і a ламаною , що лежить в області D і віддалена від межі області на віддаль d 0, причому R d .

Нехай a1	–	точка	перетину кола R :	z a	R з	ламаною	.
Розглянемо круг R	:	z a1	R. Оскільки f z 0	для точок ламаної ,			які
Розглянемо круг R	:	z a1	R. Оскільки f z 0	для точок ламаної ,			які
1						що f z 0 у
1
лежать в крузі R , то аналогічно до попереднього можна довести,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251.28 Mб1КОНСПЕКТ СХ АР 12.doc
#
01.05.2025814.08 Кб1КОНСПЕКТ ТБУ НОВЫЙ.doc
#
03.09.2019412.67 Кб29Конспект ТВПС.doc
#
01.07.2025150.53 Кб0Конспект ТЕ.doc
#
01.05.2025108.03 Кб1конспект тканини.doc
#
12.02.20162.7 Mб105Конспект ТФКЗ.pdf
#
04.12.2018716.8 Кб13конспект шпак трансфер.doc
#
01.05.2025106.65 Кб1Конспект Шпак.docx
#
01.05.20251.54 Mб2конспект эк. труда.doc
#
12.02.20162.07 Mб83Конспект(електроніка).doc
#
01.07.2025786.94 Кб1Конспект-Ауд.зар.кр..doc