Конспект ТФКЗ

Отже, інтеграл від аналітичної однозначної функції вздовж довільного

замкненого кусково-гладкого контуру, який повністю міститься в однозв’язній області її аналітичності, дорівнює нулю.

Узагальнена теорема Коші. Нехай однозв’язна область D обмежена замкненою жордановою кривою, а функція комплексної змінної w f z є аналітичною в області D і неперервною у замкненій

області D D D. Тоді f z dz 0.

D

Теорему Коші можна узагальнити і на випадок багатозв’язної області,

цьому випадку область D залишається

зліва.

2

Теорема Коші для багатозв’язної області. Нехай функція комплексної змін-ної w f z є аналітичною у багатозв’язній області D, обмеженій зовні контуром Γ , а зсередини – контурами Γ1,..., Γn, і є непе-рервною у

замкненій області D D Γ Γ1 ... Γn. Тоді

f z dz 0,

D

де D Γ Γ1 ... Γn – повна межа області D, яка обходиться у додатному напрямку.

51

Доведення.

► Розріжемо область D вздовж кривих 1,..., n (з’єднаємо кожен з контурів Γ1,..., Γn з межею Γ), тобто вилучимо з області D всі точки кривих

1,..., n. У результаті отримаємо однозв’язну область D , межа D якої складається з контурів Γ , Γ1,..., Γn і контурів 1,..., n, причому останні обходяться двічі у протилежних напрямках. Тоді інтеграл від функції f z

вздовж межі D , яку обходимо у додатному напрямку, згідно з узагальненою теоремою Коші, дорівнює нулю:

f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz 0.

52

f z dz f z dz f z dz,

1 2 L

• Оскільки підінтегральна функція аналітична і однозначна в однозв’язній області, обмеженій контуром z 1, і неперервна на ньому, то за теоремою

Коші

I ezz2dz 0.•

§ 3. Первісна. Властивості первісних

Означення. Функція комплексної змінної F z називається первісною для функції f z , визначеної в області D, якщо F z є визначеною і диференційованою в області D і

(3.1)

Якщо функція f z буде ще й неперервною в D, то її первісна буде аналітичною в D. В курсі математичного аналізу доводиться, що кожна неперервна функція має первісну. У комплексній площині справедлива

53

Знайдемо

Покажемо, що границя другого доданку при z 0 існує і дорівнює нулю. Оцінимо вираз

Тому існує

lim F F z f z . ◄

z 0 z

Наслідки.

1. Якщо функція f z аналітична в області D, то вона має в цій області первісну.

2. За виконання умов теореми справедлива формула диференціювання інтеграла за верхньою змінною межею:

54

f z в області D, то функція F z C, де C – довільна комплексна стала, також

► З того, що функції F1 z , F2 z є аналітичними в області D, випли-ває, що функція w z F1 z F2 z є також аналітичною для z D і

w z F1 z F2 z f z f z 0.

z1

f d F z1 F z0 .

z0

55

За формулою (3.2) можна обчислювати інтеграли від аналітичних функцій в однозв’язній області, використовуючи таблицю первісних.

Приклад. Обчислити інтеграл zdz, де контур – відрізок прямої від точки

z 0 до точки z 1 i.

• Підінтегральна функція f z z є аналітичною у всій комплексній площині. За формулою (3.2) маємо

§ 4. Інтегральна формула Коші. Теорема про середнє. Принцип максимуму модуля

Теорема Коші приводить до ряду важливих наслідків, зокрема дозволяє встановити певний зв’язок між значеннями аналітичної функції у внутрішніх точках області із значеннями на межі.

Теорема. Нехай функція w f z визначена і аналітична в однозв’язній обмеженій області D, а – довільний гладкий замкнений контур, що цілком належить області D. Тоді для всіх точок z0, які лежать всередині області, обмеженій контуром , справедлива формула

для багатозв’язної області

56

Поміняємо у другому інтегралі орієнтацію контуру . Тоді

Зауважимо, що інтеграл, який є зліва, не залежить від вибору контуру , а

тому остання рівність буде вірною і для 0.

який охоплює цю точку і належить області аналітичності.

57

Зауваження.

1.Формула (4.1) справедлива і у тому випадку, коли контур D, за умови неперервності функції f z у замкненій області D.

2.Формула (4.1) справедлива і для багатозв’язної області D, межа якої

D Γ1 Γ2 ... Γn .

3. Якщо в умовах теореми точка z0 D розміщена поза областю, обмеженою контуром , то

диться у додатному напрямку.

• Всередині області, обмеженої контуром , є лише точка z 0, в якій