Конспект ТФКЗ

За формулою (2.13) маємо

На рис. 1.5 зображені значення wk , k 0,2. •

Im z

w0

Рис. 1.5

11

§ 3. Комплексна площина. Топологія комплексної площини. Криві і області на комплексні й площині

Кожному комплексному числу z x iy, як числу, що задається двома дійсними числами x, y , можна поставити у відповідність точку комплексної площини C. Введемо віддаль між двома точками z1 і z2 комплексної площини

C. Нехай z1 x1 iy1, z2 x2 iy2. Тоді віддаль між цими двома точками, згідно з відомою з аналітичної геометрії формулою, дорівнює

Означення 5. Точка z1 називається межовою точкою області D, якщо у будь-

якому її - околі z z1 є як точки z, які належать області D,

так і точки z комплексної площини C, які не належать області D.

12

Сукупність межових точок утворює межу (границю) області D і позначається D або однією літерою L, тощо. Область D D D називають

замкненою областю. Наприклад, замкнений круг z z0 R, замкнене кільце

r z z0 R.

Межу області D на комплексній площині можна задати за допомогою комплекснозначної функції z z t x t iy t деякого дійсного параметра t , , тобто задати дві неперервні функції дійсної змінної x t та y t . У цьому випадку говорять, що задана неперервна крива

z z t x t iy t , t , , (3.3)

а рівняння (3.3) називають параметричним рівнянням кривої. При цьому, якщо

комплексної площини, тобто завжди вважається орієнтованою у напрямку

гладкою, якщо її можна розбити на скінчену кількість гладких кривих.

Надалі розглядатимемо лише кусково-гладкі криві і області, межа яких складається зі скінченої кількості кусково-гладких кривих.

Приклад 3. На рисунку зображено область z 1, 0 argz 2 . Це круг z 1

13

Розглянемо замкнену область D, зображену на рис.1.8. Межа цієї області утворена двома кривими і D 1 2. Тут z1 – внутрішня точка, z2 – межова точка області.

z2

1

z1

2 D

Рис.1.8

Важливим у теорії функцій комплексної змінної є поняття орієнтації

замкненої області D – напрям обходу її межі. Додатним напрямом обходу вважають той, при якому область залишається зліва (рис.1.8).

Області комплексної площини C поділяють на однозв’язні та

багатозв’язні.

Означення 6. Область D C називають однозв’язною, якщо будь-яку замкнену неперервну криву (замкнений контур), яка повністю міститься в області D, можна деформувати в точку, не виходячи за межі області D.

Наприклад, комплексна площина C; круг z z0 R, R 0; півплощина

Imz 0. У протилежному випадку область D C називають багатозв’язною. Наприклад, кільце r z z0 R, 0 r R.

Якщо межа D області D C складається з n 1 замкнених неперервних кривих без точок самоперетину, то таку область називають n-зв’язною і відносять до типу багатозв’язних областей. Наприклад, двозв’язними є область, зображена на рис.1.8, кільце D r z R, 0 r R .

Область D називається обмеженою, якщо існує такий круг K : z R, що

D K . Обмежена область є однозв’язною, якщо її межа складається лише з однієї замкненої кривої.

14

ЛЕКЦІЯ 2

Числові послідовності у комплексній області

§1. Поняття послідовності комплексних чисел. Границя послідовності. Необхідна та достатня умова існування границі числової послідовності

Для теорії функцій комплексної змінної велике значення має те, що основні ідеї і поняття математичного аналізу можна перенести в комплексну область. Зокрема, це поняття границі і збіжності числових послідовностей. Як і для множин дійсних чисел, якщо для n N вказано комплексне число zn, то

кажуть, що задана послідовність zn n 1 zn zn 1 .

Означення 1. Послідовністю комплексних чисел називається перенумерова-

на нескінченна множина комплексних чисел (відображення множини натуральних чисел N на деяку множину zn C ); zn будемо називати елементами послідовності.

Означення 2. Комплексне число A C називається границею послідовності

Оскільки кожний елемент послідовності zn n i n характеризується парою дійсних чисел n і n , то послідовності zn відповідають дві послідовності дійсних чисел n і n , елементами яких є n Rezn і n Imzn.

15

Оскільки за правилом трикутника справедлива нерівність

zn A n i n n n ,

то, вибравши N max N1, N2 , отримаємо

lim nei n 0ei 0 .

n

§ 2. Властивості збіжних числових послідовностей. Число ez

Теорема 1 показує, що питання щодо існування границі послідовності

zn 1 фактично переноситься на питання існування границь числових послідов-

властивості, що і збіжні послідовності дійсних чисел. Зокрема, якщо існують

16

для n: un n n i n n . За відомою з математичного аналізу теоремою про границю суми збіжних числових послідовностей, маємо, що існують

Пункти б) і в) доводяться аналогічно. ◄

Введемо поняття обмеженої послідовності zn 1 .

замкненому крузі z M радіуса M з центром у початку координат.

Зауважимо, що, згідно з теоремою 1, збіжна послідовність zn 1 є

обмеженою. Проте не кожна обмежена послідовність є збіжною. Дійсно,

Тоді

17