Конспект ТФКЗ

f t , g 0 0. Якщо

.

0

g t . G p , то за формулою (4.2)

причому g t

для t 0, , та існує невластивий інтеграл

f t dt, то

0

f t dt lim F p .

0

p 0

Зокрема, якщо функція F p є

аналітичною в точці

p 0, то останнє

співвідношення набуває вигляду

f t dt F 0 .

0

f t

5. Інтегрування зображення. Якщо

– оригінал, то

t

f t

. .

F d ,

(4.5)

t

де p, –

p

горизонтальний промінь,

що належить півплощині Re p 0, від

точки p до точки Re p .

Нехай

g t

f t

. . G p .

Тоді

за формулою

(4.3)

диференціювання

t

зображення

G p . . tg t f t . Оскільки f t . . F p , то F p G p і

G d G G p F d .

p

p

f t

на для t 0, , та невластивий інтеграл

dt є збіжним, то

0

t

f t

dt

F p dp.

t

0

0

t

Приклад 3. Знайти зображення інтегрального синуса sit

sin

d .

0

• Оскільки зображенням функції

f t sint є функція

F p

1

, то за

формулою (4.5) маємо

1 p2

d

sint

. . p

arctgp arcctgp,

t

1 2

2

звідки за формулою (4.4) знаходимо, що sit

.

. 1

arcctgp. •

p

6. Запізнення оригінала. Якщо

f t 0

для всіх t , де 0, то

За формулою (1.2)

f t . . e p F p .

(4.6)

0

звідки заміною t отримуємо

0

0

Приклад 4. Знайти зображення функції f t cos t 1 .

• Враховуючи, що cost . .

p

, за формулою (4.6) маємо

p2 1

cos t 1 . . e p

p

. •

p

2 1

7.

Зміщення зображення.

Для

довільного

комплексного числа , де

Re p 0

e t f t . . F p .

(4.7)

За формулою (1.2) маємо

e t f t . .

e p t f t dt F p .

0

8.

Випередження оригінала. Якщо – довільне додатне число, то

.

pt

f t

.

p

t dt

e

F p e

f

.

(4.8)

0

f t dt ,

За формулою

(1.2)

маємо

f t . . e pt

звідки

заміною

t отримуємо

0

f t . .

e p f d ep

e p f d

p

p

p

pt

e

f d

e

p

e

f

d e

F p e

f t dt .

0

0

0

Приклад 5. Знайти зображення функції

f t e3t 4 sin 3t 4 3t 4 .

4

4

3 t

f t e

• Маємо

3 sin3 t

. З таблиць інтегрального перетворення

3

Лапласа e t sin t . .

. За формулою (4.8) знаходимо, що

p 2 2

4

4

4

t

3

4

.

p

1

e

pt

t

e

3 sin t

.

e

3

p 1

2

e

sintdt

,

3

1

0

і за формулою подібності (4.1)

4

4

p

p

3

e3t 4 sin 3t 4 3t 4 . .

1

1

t

e3

3

e

3 et sintdt

p

2

3

0

1

1

3

4

p

4

1

4

p

cos

1 sin

3

3

3

. •

e3 3

3

p

2

1

1

3

називається

згорткою

функцій

f1 t

та

f2 t

і

позначається

символом

f1 t f2 t , тобто

t

f1 t f2 t f1 f2 t d .

(4.9)

0

Основні властивості згортки

 Операція згортки є комутативною,

тобто

f1 t f2 t f2 t f1 t ,

якщо обидві частини рівності мають зміст;

 для

функцій-оригіналів

f1 t

та

f2 t

операція

згортки

завжди

виконується і

t

t

f1 t f2 t f1 f2 t d f2 f1 t d ;

0

0

f2 t з індексами росту

 згортка

f1 t f2 t функцій-оригіналів

f1 t

та

1 і

2

відповідно

також є

функцією-оригіналом,

причому

індекс

росту f1 t f2 t не перевищує 0

max 1, 2 .

t

. F p ,

Теорема множення зображень (теорема про згортку).

Якщо

f

1

.

t

. F p ,

max

, то

1

Re p

1

і

f

2

Re p

2

,

0

1

,

2

t

.

2

f1 t f2 t f1 f2 t d . . F1 p F2 p ,Re p 0.

(4.10)

Доведення.

0

► Підставивши (4.9) в інтеграл Лапласа (1.2), отримаємо

f t f

t

.

t

f

f

(1)

2

e pt

2

t d dt.

1

.

1

0

0

Оскільки зовнішній

інтеграл

при

Re p 1 0 збігається

рівномірно і

абсолютно, то можна змінити порядок інтегрування:

.

pt

f t f

t

f

e

f

t dt

d .

(2)

2

2

1

.

1

0

функції f

2

t , 0 і за

теоремою запізнення (4.6) він дорівнює e

p F p .

2

Тоді остаточно отримуємо

f t f

t

. F

e p f

d F

p F p .◄

2

.

p

1

2

1

1

2

0

f t et

Приклад 6. Знайти згортку

f t f

2

t і зображення згортки функцій

,

1

1

t