Конспект ТФКЗ

неперервна однозначна функція від

z, після

обходу замкненого контуру Γ

повернеться до свого початкового значення

ln

f z0

, то зміна

Ln f z може

відбутися лише за рахунок зміни Arg f z .

Оскільки

f z

Ln f z

(5.4)

f z

то

f z

1

1

dz

ΓLn f z ,

(5.5)

2 i

f z

2 i

Γ

де ΓLn f z – приріст функції

Ln f z при русі точки

z вздовж кривої Γ у

додатному напрямку, починаючи з точки z0. Оскільки

ΓLn f z ln

f z0

iΦ1 ln

f z0

iΦ0 i Φ1 Φ0 ,

то з рівності (5.5), знайдемо

1

Φ Φ

f z

dz

1 0

.

(5.6)

2 i

f z

2

Γ

Порівнюючи (5.3) і (5.6), отримаємо

N P

Φ1 Φ0

1

ΓArg f z .

(5.7)

2

2

w замкненого контуру Γ дорівнює нулю. У другому випадку –

кількості

повних обертів навколо точки w 0, які здійснить радіус-вектор точки

w f z

обертів навколо точки w 0, які здійснить радіус-вектор точки

w f z ,

коли точка z обходить у додатному напрямку контур Γ .

неперервна аж до її межі Γ і f z

z Γ 0, то

N

1

ΓArg f z .

(5.8)

2

Γ . Якщо

При цьому можна не вимагати неперервності f

z аж до її межі

Γ D – замкнена крива, близька до Γ , то

1

Γ

Arg f z N . Перейшовши в

1

2

1

геометричний зміст формули (5.8).

Нехай Γ

– образ кривої Γ при відображенні w f z . Тоді маємо, що

1

ΓArg f z

1

Γ Argw z , тому

N – кількість обертів кривої Γ навколо

2

2

точки w 0.

z

w

однозв’язній

області D, неперервні аж до

її межі Γ

і для z Γ

виконується нерівність

f z

g z

.

(5.9)

Тоді функції

f z і F z f z g z мають в області

D однакову

кількість нулів (з урахуванням їх кратності).

Доведення.

N f – кількості нулів функцій

F z і f z

► Нехай NF і

відповідно в

За формулою (5.8) і з властивостей приросту аргументу отримуємо

1

1

g z

N

F

Γ

ArgF z

Γ

Arg f z 1

2

2

f z

1

Arg f z

1

g z

1

g z

Γ

Γ

Arg 1

N

f

Γ

Arg 1

.

2

2

f z

2

f z

Покажемо, що

g z

1

Γ

Arg 1

0.

(5.10)

2

f z

g z

Нехай Γ

– образ кривої Γ

при відображенні w 1 f z . Оскільки

w

для z Γ

виконується нерівність

w 1

g z

1,

f z

Приклад 1. Всередині круга

z

1 знайти кількість коренів рівняння

z9 6z4 3z 1 0.

• Введемо позначення

f z 6z4,

g z z9 3z 1. Якщо z Γ :

z

1, то

f z

6,

g z

z

9 3

z

1

5, тобто

f z

g z

для z Γ . За теоремою

коренів рівняння 6z4 0, тобто дорівнює 4. •

Приклад 2. Показати, що у півплощині Rez 0 рівняння

z ez 0, 1

(5.11)

має єдиний корінь і цей корінь дійсний.

• Розглянемо півкруг D: Rez 0,

z

R, де R 1. Межа Γ області D

складається

з відрізка

: iR;iR і

півкола R :

z

R, Imz 0.

Введемо

позначення:

f z z ,

g z ez .

Якщо

z , тобто z

iy, R y R, то

f z

z

1, звідки

f z

g z

,

а

g z

eiy

1. Якщо

z R ,

то

f z

z

R 1,

g z

ex 1, оскільки x 0.

P z a

0

zn

a zn 1

a

n 1

z a

n

(5.12)

має рівно n нулів.

1

Доведення.

f z a

zn, g z a zn 1 a

► Введемо

позначення

0

n 1

z a

n

. Тоді

g z

1

P z f z g z .

Оскільки lim

0,

то існує

таке

число

R0 0,

що

g z

z f z

1 для

z

R0.

f z

P z

z

R R0

За теоремою Руше многочлен

у довільному крузі

має

однакову кількість нулів з функцією

f z a0zn, тобто n. ◄

Зауваження. Якщо число R0 таке, що

g z

1 для

z

R0,

то всі нулі функції

f

z

P z лежать у крузі

z

R0.

2) на кожному відрізку півосі

t 0

функція

f t

є неперервною,

крім, можливо, скінченої кількості

точок розриву

першого

роду

( f t – кусково-гладка функція);

3) існують такі дійсні числа

M 0, 0 0,

що

для всіх

t 0

виконується нерівність

f t

Me 0t .

(1.1)

для яких виконується нерівність (1.1). Ця нижня грань 0 inf називається

індексом або показником росту функції

f t (при t ).

Приклад 1. Чи буде оригіналом функція

f t sint ?

• Очевидно, що функція

f t sint

задовольняє другу умову. Третя умова

також виконується, оскільки

sint

1 e0t . Але перша умова означення не

виконується, тому функція f t sint не є оригіналом. •

1,

t 0,

Приклад 2. Чи буде оригіналом функція Хевісайда t

t 0

?

0,

• Функція задовольняє першу і другу умови. Для M 1,

0 0

третя

умова також виконується. Отже, функція Хевісайда є оригіналом. •

Означення 2. Нехай f t – комплекснозначна функція дійсної змінної

t, яка

F p f t e ptdt

(1.2)

0

називають інтегралом Лапаласа функції

f t , а функцію F p –

зображенням оригінала f t , або перетворенням Лапласа функції

f t .

Якщо f t – функція-оригінал з показником

росту 0 , то півплощина

Re p 0 на площині комплексної змінної p

називається півплощиною

збіжності інтеграла (1.2).

Теорема. Якщо f t – функція-оригінал з показником росту

0 , то у півпло-

щині збіжності інтеграл

(1.2) збігається абсолютно

для всіх p, а у

півплощині Re p 1 0

збігається абсолютно і рівномірно.

Доведення.

► Нехай p is

– довільна точка

у півплощині збіжності, тобто

Re p 0 .

f t

Me 0t . Тоді

З означення показника росту маємо, що

M

F p

f t e pt

dt

f t e is t

dt M e 0 tdt

.

0

0

0

0

M

f t e pt

Me 1 0 t ,

Me 1 0 tdt

1

0

0

1,

t 0,

Приклад 3. Знайти зображення Лапласа функції Хевісайда t

t 0.

• Обчислимо

0,

1

F p t e ptdt e ptdt

e pt

. •

p

0

0

0

p

Відповідність між оригіналом і зображенням записують у вигляді

1

F p → f t

або f t . . F p .

Наприклад, t . .

.

p

лад, замість t , t2 t , sint t пишуть 1, t2, sint,

а замість t . .

1

запи-

p

сують 1.

. 1

.

p

§ 2. Властивості перетворення Лапласа

Нехай

f t –

функція-оригінал з показником

росту 0 , а

F p

– її

зображення.

то F p 0, і навпаки.

1. Якщо

f t 0,

2.

Функціями-оригіналами є такі функції:

а)

f t

з показником росту 0 ;

б)

f t 0 з показником росту 0;

в)

e t f t

( – дійсне або комплексне число), показник

росту якої дорів-

нює 0

Re ,

якщо

0 Re 0, і нулю, якщо 0 Re 0;

г)

f t

0,

t 0 ,

t ,

з показником росту 0 ;

f t ,

д)

tz f t , де z – дійсне чи комплексне число, з показником

росту 0.

t

3.

Функція

t f u du

на

інтервалі 0 t є неперервним оригіналом з

0

4.

показником росту 0.

Властивість лінійності перетворення Лапласа.

Якщо f t

. F p

і f

2

t

.

.

F p з показниками росту

1

,

2

відповідно,

1

.

1

2

5. Властивість аналітичності.

Теорема. Якщо f t –

функція-оригінал з показником

росту 0 , то у всій

півплощині збіжності

Re p 0

її перетворення Лапласа (1.2) є

аналітичною функцією.

Доведення.

► За теоремою з § 1 у будь-якій півплощині Re p 1

0 інтеграл

(1.2)

є рівномірно збіжним. Тому функціяF p

є неперервною у будь-якій

точці

~

~

Γ –

простий замкнений контур, що належить

p, де

Re p 0. Нехай

~

~

~

~

~

околу U p

точки p,

де окіл U p належить півплощині Re p

1 0 .

Тоді в силу рівномірної збіжності і теореми Коші

pt

pt

F p dp

f t e

dt

dp

e

dp

dt 0.

f t

Γ

Γ 0

0

Γ

За теоремою Морера маємо,

що F p

~

– аналітична функція в околі U p

6. Поведінка зображення на безмежності.

Якщо p так, що Re p , то

lim F p 0 .

(2.1)

Справді, оскільки

F p

M

, то lim F p 0.

0

Re p

§ 3. Формула обернення перетворення Лапласа

Теорема 1 (формула Мелліна). Якщо

f t – функція-оригінал, а

F p – її зо-

браження, то у будь-якій точці t, в якій оригінал f t є неперервним,

1

ib

1

i

f t lim

eptF p dp

eptF p dp,

(3.1)

2 i

b 2 i

ib

i

лексної змінної p is задовольняє такі умови:

а) F p – аналітична функція у півплощині Re p 0;

б) рівномірно відносно arg p 0 функція F p

0

в області

p

Re p 0 ;

в) для всіх Re p 0 збігається невластивий інтеграл

i

F p

dp M,

(3.2)

i

F p для

Re p 0 є

де M – деяке додатне число.

Тоді функція

зображенням функції-оригінала

f t

F p . .

f t ,

1

i

f t

eptF p dp

0, t 0 .

2 i

i

змінної p is задовольняє такі умови:

1) функція F p , яка початково задана у півплощині

Re p 0 і

задовольняє

умови теореми 2, може бути аналітично продовжена

на всю комплексну площину p;

2) аналітичне продовження функції F p у півплощину Re p 0 за-

довольняє умови леми Жордана.

Тоді має місце співвідношення:

1

i

n

eptF p dp

Res eptF p ; pk ,

(3.3)

2 i

i

k 1

де t 0, а pk

k

– ізольовані особливі точки (полюси,

істотно

1,n

особливі точки) функції, яка

є

аналітичним продовженням

функції

F p у півплощину Re p 0.

f t повністю визначається своїм зо-

Теорема 4 (теорема єдиності). Оригінал

§ 4. Основні формули операційного числення

Нехай f t . . F p , де

f t – функція-оригінал з показником росту 0 .

1. Подібність. Якщо 0, то

f t . .

1

p

F

.

(4.1)

1

sint . .

sinte ptdt

,

2

0

1 p

то за формулою (4.1) маємо

1

1

sin t . .

. •

p 2

p2

2