Конспект ТФКЗ

Приклад 4. Знайти лишки функції

f z ctgz в точках zk

k, k Z .

• Оскільки

zk k, k Z

–

полюси першого порядку, то за формулою

(2.9) знаходимо

Res ctgz,zk

cosz

1. •

sin z

z k

Лема 2. Нехай z0 – аналітична точка функції f z . Тоді

Res f z , lim z f f z ,

(2.10)

де f lim f z .

z

z

e1 z

Приклад 5. Знайти лишок функції

f z

в точці z0 .

f lim

z 1

• Оскільки

f z 0, то за формулою (2.10) знаходимо

z

e1 z

ze1 z

Res

,

lim

1. •

z 1

z

z 1

n

f z dz 2 i Res f z ,zk .

(3.1)

Γ

k 1

Приклад 1. Обчислити інтеграл I

f z dz, де f z

z2

.

2

z

3

z 2

• Оскільки точка z0 2 є полюсом другого порядку, то

z2

Res

,2 lim 2z 4.

z 2 2

z 2

За формулою (3.1) знаходимо I

8 i. •

cosz

Приклад 2. Обчислити інтеграл I

f z dz, де f z

.

2

• У крузі

z

z

2

z

z 1

2 функція має дві особливі точки:

z 0

– полюс другого

порядку, z 1 – полюс першого порядку. Тоді

cosz

d cosz

cosz

cosz

Res

,0

1,

Res

,1

cos1.

2 z 1

dz z 1

2 z 1

z2

z

z 0

z

z 1

За формулою (3.1) знаходимо

I 2 i Res f z ,1 Res f z ,0 2 i 1 cos1 . •

Теорема 2

(друга теорема теорії лишків). Нехай функція f z

аналітична в

розширеній комплексній площині, за виключенням скінченого числа

ізольованих особливих точок z1,z2, ,zn і точки z . Тоді

n

Res f z ,zk Res f z , 0.

(3.2)

R

k 1

1

Розвинувши в ряд Лорана функцію e1 z

для 0

z

, знаходимо, що

n

n 0n!z

поза контуром інтегрування є ізольовані особливі точки

~

zk , k 1,m, кількість

яких є значно меншою. Тоді

m

~

(3.3)

f z dz 2 i Res f z ,zk 2 iRes f z , ,

Γ

k 1

z5 cos 1 z

Приклад 4. Обчислити інтеграл I

f z dz, де

f z

.

5

z

2

z

5 z 1

• Особливими точками функції є: z 0 – істотно особлива, z 1 – полюс

п’ятого порядку,

z 5 – полюс першого порядку. Точка

z –

аналітична.

Точки z 5 та

z лежать поза областю, обмеженою контуром інтегрування.

Тоді за формулою (3.3)

I 2 iRes f z , 2 iRes f z ,5 .

Знайдемо

Res f z ,5 lim z 5 z5 cos 1 z

55

cos

1

,

z 5 z 5 z 1 5

45

5

z z5 cos 1 z

Res f z

, lim

1.

5

z

z 5 z 1

5

5

1

Отже, I 2 i

. •

cos

1

5

4

5

2

1. Обчислення інтегралів

R cos ,sin d

0

2

Зведемо

інтеграл

I R cos ,sin d

до

інтеграла

від

аналітичної

0

1. Нехай z ei , 0 2 . Тоді

функції вздовж замкненого контуру

z

1

1

1

1

dz iei d izd ,

1

sin

z

,

cos

z

,

d

dz,

2

z

2i

z

iz

а I R1 z dz,

де R1 z

1

1

1

1

1

R

z

,

z

– раціональна функція.

z

1

iz

2i

z

2

z

2

d

Приклад 1. Обчислити інтеграл I

, де

a

1.

1 2acos a

2

0

• Після заміни z ei отримаємо

I R1 z dz, R1 z

1

1

1

.

1

1

z

1

iz1 a z

a2

ia z

a z

z

a

Оскільки

a

1, то I 2 iRes

R

z ,

1

2 i

1

2

. •

1

a

ia z a

1

a2 1

z

a

2. Обчислення невластивих інтегралів

f x dx

f z ,

Теорема 1. Нехай функція

яка є аналітичним продовженням функції f x

на верхню

півплощину

Imz 0, є

аналітичною всюди

у верхній

півплощині

Imz 0,

за виключенням скінченої кількості ізольованих

особливих точок zk ,

k

,

які лежать вище від дійсної осі. Існують

1,n

такі додатні числа

M,R0, ,

що для всіх точок верхньої півплощини,

які задовольняють умову

z

R R0, має місце оцінка

f z

M

.

(4.1)

z

1

Тоді існує невластивий

інтеграл

f x dx,

який

обчислюється за

формулою

n

f x dx 2 i Res f z ,zk , Imzk 0.

(4.2)

k 1

Доведення.

► За умовами теореми функція f z

має у верхній півплощині скінчену

кількість ізольованих особливих

точок zk , k

.

Отже,

існує

таке число

1,n

R0 0, що всі особливі точки zk функції

f z лежать в крузі

z

R0.

R

Розглянемо

замкнений

контур

Γ ,

який

скла-

z

дається

з відрізка R,R

R R0

дійсної

осі і

z

•1

•n

півкола

R :

z

R R0, Imz 0.

За

основною

R

O•

R

теоремою про лишки маємо

R

n

f x dx

f z dz 2 i Res f z ,zk .

(4.3)

R

R

k 1

Для R R0 маємо

f z dz

f z

dz

M R

M

0 . Отже,

R1

R

R

R

f z dz 0.

lim

(4.4)

R

R

R

f x dx

f x dx 2 i

n

Res f z ,z

. ◄

lim

k

R

R

k 1

n

f x dx

2 i Res f z ,zk ,

Imzk 0.

(4.5)

k 1

Зауваження 2.

За формулою (4.2)

можна

обчислити інтеграл R x dx, де

Pn z

R z

– раціональна функція,

P z ,

Q

m

z – многочлени степенів n та

Qm z

n

m відповідно,

а інтеграл

R x dx є збіжним.

Вважатимемо,

що многочлени

Pn z , Qm z

не мають спільних нулів. Такий

інтеграл буде

збіжним, якщо

Qm z 0 і m n 2. Тоді

k 1

Оскільки точки zk , k

у цьому випадку є полюсами функції R z , то

1,n

x2dx

Приклад 2. Обчислити інтеграл I

.

x

5

i

• У півплощині Imz 0 функція

z2

має полюс п’ятого порядку в

z i 5

dx

Приклад 3. Обчислити інтеграл I

.

4

x

2

1

• У півплощині Imz 0 функція

1

1

має полюс чет-

z2 14

z i 4 z i 4

1

1

d

3

1

5

. •

I 2 iRes

;i

2 i

lim

z i 4 z i 4

3!z i dz3 z i 4

16

3. Обчислення інтегралів

ei x f x dx

Лема Жордана. Нехай функція

f z є аналітичною у півплощині

Imz 0, за

виключенням скінченої кількості ізольованих особливих точок, і

рівномірно відносно

argz

0 argz

прямує до нуля при

z

.

Тоді для 0

ei z f z dz 0,

lim