Конспект ТФКЗ

Приклад. Розвинути функцію f z

1

в ряд Лорана в околі точки z .

1 z4

4

1

1

1

1

• Покладемо

z

:

f

4

. Роз-

1

4

4 1

1 4

1

винемо функцію в ряд Лорана в околі точки 0:

1

4

4 1 n 4n 1 n 1 4n, 0

1.

1 4

n 0

n 1

1

Повертаючись в отриманому розвиненні до змінної z

, маємо

1

f z

1 n 1z 4n,

1

z

. •

4

1 z

n 1

2)

полюсом, якщо lim f z ;

z z0

z z0

3)

істотно особливою точкою, якщо lim f z не існує.

z z0

Усувна особлива точка

f z . Тоді (і

Нехай точка z0 є усувною особливою точкою функції

надалі) вважатимемо, що f z0 lim

f z . Відповідно до леми 1

функція f z

z z0

Приклад 1. Визначити характер особливої точки z0

0 функції f z

sin z

.

z2

z4

z

• Для z 0 функція f z

sin z

1

. Ця функція є аналі-

z

3!

5!

тичною в точці z0 0 і f 0 1. Отже,

z0 0

є усувною особливою точкою

функції

f z

sin z

. •

z

f z . Тоді (і

Нехай точка z0 є усувною особливою точкою функції

надалі)

вважатимемо, що f lim

f z , і точку

z0 будемо також нази-

z

Означення 3. Точка z називається аналітичною точкою функції f

z , якщо

функція

f z

є аналітичною в

кільці

R

z

і

існує

скінчена

границя

lim f z .

z

1

Приклад 2. Визначити характер особливої точки z0 функції

f z sin

.

1

1

1

z

• У кільці

0

z

функція

f z sin

є аналітичною і

3!z3

z

z

lim f z 0. Отже, z0

є усувною особливою точкою функції f z , тобто

z

аналітичною точкою. •

Полюс

f z . Тоді існує таке число

Лема 2. Нехай точка

z0 є полюсом функції

n N , що

g z

f z

, g z0 0,

(1.1)

z z0 n

де g z – аналітична в точці z0 функція. Число n називається

порядком або кратністю полюса z0.

Щоб знайти порядок полюса функції f z

в точці

z0, необхідно визна-

чити кратність нуля функції

1

в точці

z0 і подати функцію

f z

у вигляді

f

z

(1.1).

1

Приклад 3. Визначити порядок полюса z0

0 функції

f z

.

1 cosz

z0 0 є нулем функції

g1 z 1 cosz кратності 2 і полюсом функції

f z

порядку 2. •

Приклад 4. Визначити порядок полюса z0 2 функції

f z

z 2 2ez

.

z 2 5 cosz

• Оскільки функції ez,cosz аналітичні в точці z0 2 і e2

0,cos2 0, то

функція g z

ez

є аналітичною в точці z0

2

і g 2 0. Для будь-якого z

з

cosz

g z

проколеного околу точки

z0 2

маємо,

що

f z

.

Отже, z0 2

–

f z . •

z 2 3

полюс третього порядку функції

Нехай точка

z є полюсом функції

f z , тобто функція f z

є ана-

літичною в кільці R

z

, R 0

lim

f z . Тоді функція g

1

і

f

є

z

1

аналітичною в кільці 0

і

lim g ,

тобто 0 є полюсом функції

R

0

g

h

h 0 0, де h

g . Тому існує таке натуральне число n, що

,

–

n

1

1

аналітична в точці 0 функція. Тоді

f z g

znh

, тобто

f z znh z ,

z

z

h 0,

(1.2)

1

1

1

де функція h1 z h

– аналітична в

точці

z . Число

n називається

z

f z в точці z .

порядком полюса функції

f z

Отже, щоб знайти порядок полюса функції

в точці z , необхідно

f

1

0

і подати функцію f z

знайти порядок полюса функції

в точці

у

вигляді (1.2).

1

Приклад 5. Визначити порядок полюса z0 функції f z

.

sin

1

1

1

z

• Покладемо

z

і g

. Точка

0

є полюсом 1-го порядку

Приклад 6. Показати, що

z0 є істотно особливою точкою функцій ez та

sinz.

• Обидві функції є аналітичними в області

z

. Але їх границі при

z не існують ( lim ex

, lim

ex 0; lim sinx не існує). •

x

x

x

Означення 4. Функції f z і g z називаються еквівалентними при

z z0,

якщо вони аналітичні у проколеному околі точки z

0

і

lim

f z

1.

У цьому випадку записують: f z ~g z для z z0.

z z0 g z

g z

Наприклад, з формули (1.1) випливає, що

f z ~

для z z0.

z z0 n

Приклад 7. Визначити особливі точки функції

f z

1 cosz

.

ez 13

Розв’язавши

рівняння ez 1 0,

знаходимо, що zk 2 ki, k Z .

Крім того,

точка z також є особливою точкою, оскільки значення

f не визначене.

Кожна

з

точок

zk

2 ki, k Z

є

ізольованою

особливою

точкою

однозначного характеру,

тому що існує проколений окіл точки zk ,

в якому

функція

f z є

аналітичною.

Точка

z є точкою накопичення точок zk ,

оскільки

lim zk

. Дослідимо характер точок zk .

k

1)

z 0. При z 0 маємо:

z2

z

2

z2

z

z 1 cosz

1

~

;

ez 1 z 1

~z;

2

12

2

2

z ez 13~z3.

Отже, f z ~

z2

1

, тобто точка z 0 – полюс 1-го порядку функції

f z .

2z3

z

zk 0, а zk

2)

zk 2 ki, k Z, k 0. Оскільки

– нуль кратності 3

ki, k 0 – полюси 3-го порядку функції

f z .

функції z , то точки zk 2

3)

z .

Довільний

проколений

окіл точки z

містить

ізольовані

f z

zk, k Z а тому

z – неізольована

особливі точки функції

– полюси

особлива точка функції f z . •

f z , то існує таке число R 0,

що в кільці

0

z z0

R функція f z буде

аналітичною і в цьому кільці функцію

f z

можна розвинути у ряд Лорана.

Якщо z0 є

ізольованою особливою точкою,

то функцію

f z можна

розвинути в ряд Лорана у кільці

R

z

.

При цьому значення

f z0 може

бути невизначеним або невідомим.

Теорема 1. Для того,

щоб ізольована особлива точка z0 функції f z була

усувною, необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти головної частини

її ряду Лорана дорівнювали нулю, тобто

1

cn z z0 n

0

для 0

z z0

R, R 0.

n

Доведення.

► Достатність. Якщо головна частина ряду Лорана відсутня, то ряд

Лорана функції

f z

є її рядом Тейлора. Тому lim

f z c0,

тобто точка z0 є

z z0

усувною ізольованою особливою точкою функції f z .

f z , тобто існує

Необхідність. Нехай z0 – усувна особлива точка функції

lim f z . Отже,

в кільці

0

z z0

R1 R функція f z є обме-женою:

z z0

f z

M . Оцінимо коефіцієнти cn

ряду Лорана для R1:

cn

f d

1

M

M

1

2

.

2 i

z

0

n 1

2

n 1

n

f d

Якщо n 0, то cn 0

при 0. Але інтеграл

не залежить від

n 1

z0

, тому cn 0 для n 0. ◄

Отже, якщо функція

f z

аналітична і обмежена у проколеному околі

точки z0, то z0 – усувна особлива точка функції f z .

Теорема 2. Для того,

щоб ізольована особлива точка z0 була полюсом

функції

f z ,

необхідно

і

достатньо, щоб головна

частина її ряду

Лорана містила скінчену кількість членів.

Доведення.

z z0

R, R 0

► Достатність. Нехай в кільці 0

f z

c m

c m 1

, де c m 0, m N .

z z0 m

z z0 m 1

f z

c m c m 1 z z0

g z

,

z z0 m

z z0 m

де функція g z

аналітична в точці z0 і g z0 c m 0,

тобто z0 – полюс

0

z z0

R

g z

f z

,

g z0 0

z z0 m

g z c0 c1 z z0 , де

де функція g z є аналітичною в точці

z0.

Тоді

c0 g z0 0 і тому

c0

c1

f z

.◄

z z0 m

z z0 m 1

2) точка z 1 є істотно особливою для функції

f z cos

z

.

• 1) Функція

f z z2e1 z

z 1

є аналітичною в кільці 0

z

, в якому

1

1

1

1

f z z2ez z2

z2 z

.

n 0n!zn

2 n 1 n 2 !zn

Головна частина ряду Лорана містить нескінченну кількість членів, від-

1

f z z2e

.

мінних від нуля. Отже, z 0 – істотно особлива точка функції

z

2) У кільці 0

z 1

маємо

f z cos

z