96
СИСТЕМИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ
Ці системи призначені для кількісної оцінки і передачі спектральних характеристик досліджуваних процесів.
|
Якщо сигнал |
x(t) |
задовольняє умову |
абсолютного |
∞ |
, а тоді |
||
|
∫x( t )dt < ∞ |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
x(t) = |
∞∫ S( jω) e− jωtdω |
, де |
S( jω ) називається |
комплексний |
спектр (спектральна |
|||
|
||||||||
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
||
густина амплітуд);
S ( jω) = ∞∫ x(t) e− jωtdt
−∞
Комплексний спектр має випадковий характер, так як співвідношення між амплітудами і фазами коливань різних випадкових процесів не визначені, тому для випадкових процесів застосовують поняття спектральної густини потужності, або інакше, енергетичний спектр. Для стаціонарного ергодичного процесу енергетичний спектр:
S( jω )2 Gx(ω ) = lim T ,
T→∞
а її оцінка (математичне сподівання)
G*x(ω ) = |
|
S( jω ) |
|
2 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
T |
|
|
За теоремою Вінера-Хінгіна енергетичний спектр і кореляційна функція пов’язані між собою наступним співвідношенням:
Відомо, що Gx (ω) = ∞∫ K x(τ) e− jωτ dt = ∞∫ K x (τ) cosωτdτ ; |
||||
|
|
−∞ |
0 |
|
K x (τ)= |
1 |
∞∫Gx(ω)ejωτ dω = |
1 |
∞∫Gx(ω)cosωτdω . |
|
|
|||
|
2π −∞ |
π 0 |
||
Враховуючи парність функції Gx(ω) та формулу Ейлера, прийдемо до виразу для визначення дисперсії:
D[X (t )]= M [X 2 (t )]= K x (0) = 1 ∞∫Gx (ω)dω .
π 0
Таким чином, Gx(ω) описує частотний розподіл середньої потужності випадкового процесу (рис.32).
На рис.33,а представлені графіки рівномірного розподілу спектральної густини GХ(ω) і відповідну їй кореляційну функцію RХ(ω), На рис.33,б представлені
97
графіки іншого розподілу спектральної густини GХ(ω) і відповідну їй кореляційну функцію RХ(τ).
GХ(ω)
Елемент GХ(ω)dω
|
dω |
0 |
ω |
|
Рис.32. Частотний розподіл середньої потужності випадкового процесу
Gx(ω) |
Rx(τ) |
ω |
τ |
Gx(ω) |
Rx(τ |
ω |
τ |
|
|
ω0 |
|
Рис.33. Графіки розподілу спектральної густини GХ(ω) і відповідну їй кореляційну функцію RХ(τ).
98
a)
x(t) |
Корелометр |
Квадратор- |
|
> |
інтегратор |
|
|
Xm2∫ |
Пасмовий фільтр з регульованою хар-кою
б)
x(t) |
Корелометр |
Суматор |
> |
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратор- |
Гетеродин |
|
|
інтегратор |
||||||
|
|||||||||
ний |
|
|
Xm2∫ |
||||||
аналізатор |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
Квадратор- |
|
інтегратор |
x(t) |
Xі2∫ |
Корелометр |
|
|
> |
Рис.34 Приклади апаратної реалізації спектроаналізатора.
99
На рис.34 показані приклади апаратної реалізації спектроаналізатораів. Побудова спектроаналізаторів базується на використанні частотних фільтрів чи ортогональних перетворень випадкового процесу та перетворень Фур’є над отриманою попередньо автоковаріаційною функцією, яку реалізують корелометри. Фільтровий аналіз може бути паралельним (в) чи послідовним (а).
При паралельному аналізі найбільшого поширення досягли пасмові селективні фільтри-резонатори. На виході кожного з фільтрів, що пропускає вузьке
пасмо частот ∆ωф , після піднесення до квадрату та інтегрування, отримаємо
відповідну складову спектру Gx (∆ωф).
При послідовному аналізові застосовуються як перелагоджувані фільтри (а), так і гетеродинні аналізатори (б). Найбільш розповсюджені гетеродинні аналізатори внаслідок простоти реалізації.
За допомогою генератора періодичних коливань з частотою, що регулюється
(гетеродина), відбувається послідовний зсув частотного спектру досліджуваного сигналу та виділення з нього, за допомогою пасмового фільтру, певної спектральної складової енергетичного спектру (спектральної густини потужності).