2.2. Точка на прямій. Взаємне положення точки і прямої

Якщо точка лежить на прямій, то її проекції лежать на однойменних проекціях цієї прямої і на спільній лінії зв’язку.

Точка А (рис. 2.10) лежить на прямій m, тому що її проекції А₁ і А₂ розташовані відповідно на горизонтальній m₁ і фронтальній m₂ проекціях прямої.

Точки В і С не лежать на прямій m, тому що одна з проекцій кожної точки не належить проекції цієї прямої.

Точка, яка не лежить на прямій відносно прямої може займати різне положення. Наприклад: точка В знаходиться над прямою m, а точка С - за прямою m.

Рис. 2.10

Приклади розв'язання задач відносно положення точки і прямої:

Приклад 1: Поділити відрізок АВ точкою С у відношенні 2 : 1 (рис. 2.11).

Згадаємо одну з властивостей паралельних проекцій: якщо точка ділить відрізок у даному відношенні, то проекція точки ділить проекцію відрізка у такому ж відношенні.

Щоб поділити відрізок АВ точкою С у відношенні 2 : 1 досить поділити одну його проекцію у даному відношенні (наприклад А₁В₁) відомим з геометрії способом. З точки А₁ проводимо довільний промінь, на якому від точки А₁ відкладаємо три однакових довільних відрізка. Кінець третього відрізка (точку В₀) з'єднуємо з точкою В₁. Кінець другого відрізка позначаємо С₀. Точка С₀ ділить відрізок А₁В₀ у відношенні 2 : 1.

Через точку С₀ проводимо пряму, яка паралельна відрізку В₁В₀. Ця лінія перетинає горизонтальну проекцію відрізка АВ в точці С₁. С₁ ділить А₁В₁ у відношенні 2 : 1. За допомогою лінії зв’язку знаходимо відсутню фронтальну проекцію точки С на А₂В₂.

Рис 2.11 Рис. 2.12

Приклад 2: Побудувати відсутню фронтальну проекцію точки М, яка належить відрізку АВ профільного положення (А₁В₁; А₂В₂) і горизонтальна проекція точки М (М₁) відома. (рис.2.12).

Для розв'язання задачі з проекцій точок А₂ і В₂ проводимо два паралельних промені довільного напрямку до перетину в точках А₀ і В₀ з відповідними паралельними променями, які провели через проекції А₁ і В₁.

Далі, через горизонтальну проекцію точки М (М₁) проводимо промінь, який паралельний променям А₀А₁ і В₀В₁ до перетину його в точці М₀ з прямою А₀В₀. Через точку М₀ проводимо промінь, який паралельний променям В₀В₂ і А₀А₂ до перетину з проекцією відрізка А₂В₂ в шуканій точці М₂.

2.3. Сліди прямої

Пряма загального положення перетинає всі основні площини проекцій.

Якщо відрізок АВ загального положення продовжити в обидва боки від точок А і В, то в точках М і N він перетне площини проекцій П₁ і П₂ (рис. 2.13).

Точки перетину прямої з площинами проекцій називаються слідами прямої. Точка М - горизонтальний слід прямої АВ, а точка N - фронтальний.

Рис. 2.13

Слід - це точка, яка одночасно належить прямій і площині проекцій. З цієї умови витікає правило побудови слідів прямої. Побудувати сліди прямої на комплексному кресленні означає - знайти проекції слідів.

Горизонтальний слід прямої - це точка, яка належить прямій, а тому її проекції належать проекціям прямої. З іншого боку ця точка належить і площині проекцій П₁, тому вона має особливості точок, які належать площинам проекцій: одна координата дорівнює нулю. Для точки, яка лежить на П₁ - Z = 0. Точка прямої АВ, для якої Z = 0, на комплексному кресленні (рис. 2.13) знаходиться на перетині фронтальної проекції прямої АВ (А₂В₂) з віссю Х₁₂. Це точка М₂ - фронтальна проекція горизонтального сліду прямої. Точка М₁ знаходиться на одній вертикальній лінії зв'язку з М₂ і належить горизонтальній проекції прямої.

Таким чином, для побудови на комплексному кресленні горизонтального сліду М прямої АВ необхідно:

1). Продовжити фронтальну проекцію А₂В₂ до перетину з віссю Х₁₂ в точці М₂. Точка М₂ - фронтальна проекція сліду М.

2). Провести через точку М₂ вертикальну лінію зв’язку до перетину з горизонтальною проекцією А₁В₁ прямої (або її продовженням) в точці М₁ (горизонтальній проекції сліду), яка збігається з самим слідом М.

Фронтальний слід прямої - це точка, яка належить прямій, а тому її проекції належать проекціям прямої. З іншого боку ця точка належить і площині проекцій П₂, тому вона має особливості точок, які належать площинам проекцій: одна координата дорівнює нулю. Для точки, яка лежить на П₂ - Y = 0. Точка прямої АВ, для якої Y = 0, на комплексному кресленні (рис. 2.13) знаходиться на перетині горизонтальної проекції прямої АВ (А₁В₁) з віссю Х₁₂. Це N₁ - горизонтальна проекція фронтального сліду прямої. N₂ знаходиться на одній вертикальній лінії зв'язку з N₁ і належить фронтальній проекції прямої.

Таким чином, для побудови фронтального сліду (точки N) прямої АВ необхідно:

1). Продовжити горизонтальну проекцію А₁В₁ до перетину з віссю Х₁₂ в точці N₁. Точка N₁- горизонтальна проекція сліду N.

2). Провести через точку N₁ вертикальну лінію зв’язку до перетину з фронтальною проекцією А₂В₂ прямої (або її продовженням). Отримаємо точку N₂ (фронтальну проекцію сліду) яка збігається з самим слідом N.

Пряма загального положення в системі трьох площин проекцій має три сліди: горизонтальний, фронтальний і профільний; пряма рівня - два сліди; проектуюча пряма - один слід. На рисунку 2.14 показана побудова фронтального сліду N і профільного сліду Р горизонталі h, а також горизонтального сліду М і профільного сліду Р фронталі f.

Рис. 2.14

Горизонтально-проектуюча пряма а має один горизонтальний слід М (М₁), який збігається з горизонтальною проекцією прямої а (рис. 2.15).

Фронтально-проектуюча пряма b має один фронтальний слід N( N₂), який збігається з фронтальною проекцією прямої b (рис. 2.16).

Рис. 2.15 Рис.2.16