15.3. Спосіб ексцентричних сфер

Спосіб ексцентричних сфер може бути використаний для побудови лінії перетину двох поверхонь, які мають спільну площину симетрії. При цьому кожна поверхня повинна мати кругові перерізи. Як і у способі концентричних сфер, площина симетрії повинна бути паралельною одній із площин проекцій, але центри січних сфер не збігаються в одній точці, а знаходяться на спільній прямій - осі однієї з поверхонь, що перетинаються.

Приклад. Побудувати фронтальну проекцію лінії перетину конуса з частиною тора (рис. 15.3).

Дві точки - найвища та найнижча - визначаються безпосередньо на перетині контурної твірної тора з контурними твірними конуса. Це точки А і В.

Переріжемо поверхню кільця фронтально-проектуючою площиною Δ, що проходить через вісь тора. Ця площина переріже поверхню тора по колу, фронтальна проекція якого - відрізок 1₂2₂. Це ж саме коло може бути отримане, якщо поверхню кільця перерізати ексцентричними сферами, центри яких розміщені на перпендикулярі, проведеному через центр кола 1-2 до площини Δ.

Для того, щоб допоміжна сфера перерізала по колу і поверхню конуса обертання, необхідно щоб її центр належав осі конуса. Тому за центр допоміжної сфери слід взяти точку перетину перпендикуляра з віссю конуса. У цьому випадку сфера, радіус якої дорівнює відстані від її центра до точки 1 (або 2) переріже обидві поверхні по колах. Коло 3-4, по якому ця сфера перетинає конус, є паралеллю конуса.

Кола 1-2 і 3-4 перетинаються в точках D, D (D₂, D₂), які є спільними для двох заданих поверхонь.

Аналогічно, за допомогою серії фронтально-проектуючих площин ( і т.п.), що перетинають поверхню тора по колах і проводяться між крайніми точками А і В, будуємо достатню кількість довільних точок шуканої лінії перетину: С, С (С₂, С₂) і т.п

Рис. 15.3

15.4. Перетин кривих поверхонь другого порядку по плоских кривих

При взаємному перетині двох кривих поверхонь другого порядку можливі випадки, коли просторова крива четвертого порядку взаємного перетину двох поверхонь розпадається на дві плоскі криві другого.

Теорема Монжа. Якщо дві поверхні другого порядку описані навколо третьої поверхні другого порядку або вписані в неї, то лінія їх перетину розпадається на дві криві другого порядку, площини яких проходять через пряму, яка з'єднує точки перетину ліній дотику.

Практичне використання теореми можливе у тому випадку, коли дві поверхні обертання другого порядку можуть бути описані навколо сфери або вписані в неї (рис. 15.4).

Рис. 15.4

Рис. 15.5 дає уяву про те, як можна визначити лінії перетину двох конічних поверхонь  і , описаних навколо сфери . Поверхня  дотикається до сфери  по колу, фронтальна проекція якого 1₂2₂, а поверхня  - по колу, яке проектується в 3₂4₂. Точки перетину цих кіл А і В є точками дотику поверхонь  і .

Відповідно теоремі Монжа площини кривих ¹ і ² повинні проходити через пряму АВ. Оскільки АВП₂, то площини   ¹ і   ² - фронтально-проектуючі, а криві ¹ і ² проектуються у відрізки С₂D₂ і E₂F₂.

Наведені на рис. 15.5 конічні поверхні  і  перетинаються по двох кривих, одна з яких ¹ - еліпс, а друга ² - парабола (див. рис. 11.3).

Рис. 15.5