Запитання для самоперевірки

1. У яких випадках для визначення лінії перетину двох поверхонь можна використати площини загального положення як посередники?

2. Які рекомендації щодо вибору допоміжних січних площин можна дати для випадків перетину циліндрів, конусів, призм, пірамід?

Лекція 15 взаємний перетин поверхонь

15.1. Побудова лінії перетину поверхонь за допомогою січних сфер

Для визначення лінії перетину двох довільних поверхонь обертання доцільно скористатися однією властивістю поверхонь обертання, яка полягає у тому, що дві будь-які співвісні поверхні обертання перетинаються по колах, які проходять через точки перетину меридіанів поверхонь.

У частковому випадку, коли одна з поверхонь обертання - сфера, ця властивість може бути сформульована так: сфера з центром на осі поверхні обертання перетинає цю поверхню по колах, кількість яких дорівнює кількості точок перетину головних меридіанів поверхонь (рис. 15.1).

Якщо вісь поверхні обертання перпендикулярна площині проекцій П₁ (або П₂), то кола проектуються на площину П₁ (або П₂) без спотворення, а на площину П₂ (або П₁) у відрізки прямих, перпендикулярних фронтальній (горизонтальній) проекції осі обертання (рис. 15.1).

Рис. 15.1

Поверхня сфери може перетинатися по колу не тільки з співвісною поверхнею обертання, але і з будь-якою іншою поверхнею, яка має кругові перерізи, наприклад, з конічною або циліндричною поверхнями другого порядку, що мають в основі коло, та ін.

Побудувати лінії перетину поверхонь за допомогою допоміжних січних сфер можна двома способами:

1. способом концентричних сфер;

2. способом ексценричних сфер.

Особливості кожного з цих способів і умови їх застосування прослідкуємо на конкретних прикладах.

15.2. Спосіб концентричних сфер

Для двох поверхонь обертання, осі яких перетинаються, точка перетину осей може бути взята за центр концентричних сфер:

спосіб концентричних сфер застосовується при побудові лінії перетину поверхонь, осі яких паралельні до однієї з площин проекцій і перетинаються.

Приклад. Побудувати лінію перетину циліндра обертання з фронтальною віссю і конуса обертання з фронтальною віссю. Осі поверхонь перетинаються в точці О (рис. 15.2).

Спільна площина симетрії, яка проходить через осі поверхонь і паралельна до фронтальної площини проекцій, дає можливість визначити опорні (крайні) точки А і В, які знаходяться безпосередньо на перетині обрисних твірних конуса і циліндра на П₂.

Рис. 15.2

Для визначення точок С₂, С₂, D₂, D₂ з центру О₂ проведемо дві довільні сферичні поверхні. Сфери перетинаються з поверхнями по колах. Точки перетину двох кіл, що належать одній сфері, дають дві шукані точки С₂ і С₂, які на фронтальній проекції збігаються в одну.

Радіуси січних сфер вибирають довільно в межах від R_min до R_max.

R_max дорівнює відстані від фронтальної проекції точки О до найвіддаленішої проекції крайньої точки.

Для визначення R_min необхідно виявити, яка сфера найменшого радіусу перетинає одну з поверхонь і дотикається до іншої - як правило, це сфера, вписана в одну з поверхонь, які перетинаються.

У даному прикладі мінімальний радіус сфери дорівнює радіусу сфери вписаної в конус, а максимальний - сфера, що проходить через крайню точку А.