13.3. Перетин кривої поверхні з поверхнею многогранника

Лінія перетину кривої поверхні з поверхнею многогранника складається з кількох частин, кожною з яких є плоска крива - лінія перетину кривої поверхні з гранню многогранника. Точки переходу однієї плоскої кривої в іншу (точки злому) є точками перетину ребер многогранника з кривою поверхнею. Таким чином, побудова лінії перетину кривої поверхні з поверхнею многогранника складається із задач: перетин прямої з поверхнею; побудова плоских перерізів.

Приклад: Побудувати дві проекції лінії перетину прямого кругового конуса з наскрізним призматичним отвором (рис. 13.3).

Оскільки призма займає фронтально проектуюче положення, фронтальна проекція лінії перетину конуса і призми відома - вона збігається з фронтальною проекцією призми. Тому розв'язання задачі зводиться до визначення відсутньої горизонтальної проекції лінії перетину з тієї умови, що її точки належать поверхні конуса. Для цього на фронтальній проекції конуса (через відомі фронтальні проекції точок лінії перерізу) проводимо фронтальні проекції паралелей; знаходимо горизонтальні проекції цих паралелей; позначаємо точки (1₂≡1′₂, 2₂≡2′₂, 3₂≡3′₂, 4₂≡4′₂, 5₂≡5′₂, 6₂≡6′₂), в яких фронтальна проекція лінії перетину перетинає фронтальні проекції паралелей; знаходимо горизонтальні проекції точок 1₁, 1′₁, 2₁, 2′₁, 3₁, 3′₁, 4₁, 4′₁, 5₁, 5′₁, 6₁, 6′₁ на відповідних горизонтальних проекціях паралелей. З'єднавши їх плавними кривими, характер яких очевидний з умови задачі, отримаємо шукану горизонтальну проекцію лінії перерізу.

Рис. 13.3 Рис. 13.4

13.4. Взаємний перетин кривих поверхонь. Посередник площина рівня (загальний випадок)

Приклад. Побудувати дві проекції лінії перетину напівсфери і прямого кругового конуса (рис. 13.4).

Для розв'язання задачі в ролі посередника використовуємо горизонтальні площини рівня: вони перерізають обидві поверхні по колах, на перетині яких і будуть знаходитись точки, які належать лінії перетину поверхонь. В ролі опорних точок виступають тільки екстремальні точки по висоті. Оскільки обидві поверхні мають спільну площину симетрії, яка паралельна фронтальній площині проекцій П₂, то їх головні меридіани перетинаються в точці 1, яка є найвищою точкою лінії перетину. І оскільки основи заданих поверхонь знаходяться в одній площині (П₁), то вони перетинаються між собою в точках 2 і 3.

Для визначення положення точок 4, 4′, 5, 5′ використовуємо горизонтальні площини рівня. Наприклад, площина  перерізає поверхню напівсфери по колу радіуса R (проекції а₁,а₂), а поверхню конуса по колу радіуса r (проекції b₂,b₁), ці два кола перетинаються між собою в точках 4 і 4′. Спочатку визначаємо горизонтальні проекції цих точок - 4′₁ і 4, а потім по лініях зв’язку визначаємо положення фронтальних проекцій цих точок - 4і 4′₂, знаючи, що вони лежать на фронтальних проекціях ліній а₂ і b₂.

З’єднавши отримані точки 2-5-4-1-4′-5′-3′ плавною кривою, одержуємо лінію перетину двох поверхонь  і .

Примітка. Якби спільна площина симетрії не була паралельна П₂, то необхідно було б виконати перетворення комплексного креслення так, щоб ця площина стала площиною рівня.