Лекція 13 взаємний перетин поверхонь

13.1. Побудова лінії перетину поверхонь (загальний випадок)

При утворенні складних форм машинобудівних деталей чи інженерних конструкцій виникає потреба в побудові ліній перетину простих форм, що утворюють ці складні форми. Лінія, спільна для двох поверхонь, які перетинаються, називається лінією перетину. Для визначення проекцій лінії перетину необхідно знайти проекції точок, спільних для поверхонь, що розглядаються.

Лінією перетину кривих поверхонь у загальному випадку є просторова замкнена крива лінія. Лінію перетину поверхонь, як і лінію перерізу поверхні площиною, будуємо за окремими точками.

В першу чергу визначаємо характерні (опорні) точки. Це точки злому, екстремальні точки (крайні права і ліва, найближчі і найвіддаленіші, найвищі і найнижчі), точки розташовані на осях симетрії та інші, а також точки переходу видимої частини лінії перетину в невидиму (точки дотику проекції лінії перетину до контуру поверхні).

Після цього визначаємо довільні точки лінії перетину. Кількість додаткових довільних точок і їх розташування визначається необхідною точністю побудови лінії перетину.

Загальний метод побудови точок, які належать лінії перетину поверхонь, полягає в застосуванні поверхонь-посередників:

дві задані поверхні  і  перетинаємо третьою, допоміжною поверхнею-посередником  (рис.13.1);

визначаємо лінії, по яких ця допоміжна січна поверхня перетинає кожну із заданих поверхонь (а = , b = );

знаходимо точки, в яких перетинаються одержані лінії перетину (оскільки лінії а і b належать одній поверхні , то вони перетинаються між собою в одній або двох точках, які належать лінії  перетину заданих поверхонь);

змінюючи положення поверхні-посередника , визначаємо достатню кількість точок шуканої лінії , які з'єднуємо плавною кривою.

За посередники слід вибирати поверхні, які перетинали б задані поверхні  і  по найбільш простих для побудови лініях - прямих або колах. Тому найчастіше як поверхні-посередники використовують проектуючі площини, площини рівня, а також сфери.

Примітка. Перш ніж вирішити питання, яку допоміжну січну поверхню-посередник вибрати для побудови лінії перетину поверхонь, слід з'ясувати, чи не займає одна з поверхонь, які перетинаються, проектуюче положення, тому що в такому випадку розв'язання задачі значно спрощується, оскільки одна з проекцій лінії перетину буде збігатися зі слідом-проекцією проектуючої поверхні, яка входить в умову задачі. І тому розв'язання зводиться до визначення відсутньої проекції лінії, що належить поверхні, якщо відома одна її проекція і вказані проекції поверхні.

Рис. 13.1

13.2. Перетин многогранних поверхонь

Лінія перетину двох многогранних поверхонь в загальному випадку являє собою замкнену просторову ламану лінію, побудову якої можна здійснювати двома способами, вибираючи серед них той, який дає найбільш простіші побудови:

1). Визначають точки, в яких ребра першої з поверхонь перетинають грані другої і ребра другої перетинають грані першої (задача на перетин прямої лінії з площиною). Через знайдені точки у певній послідовності проводять ламану лінію, яка являє собою лінію перетину заданих поверхонь. При цьому можна з'єднувати прямими проекції лише тих точок, які знаходяться в одній і тій самій грані.

2). Визначають відрізки прямих, по яких грані однієї поверхні, перетинають грані другої (задача на перетин двох площин між собою). Ці відрізки є частинами ламаної лінії, яка є лінією перетину многогранних поверхонь між собою.

Якщо проекція ребра однієї з поверхонь не перетинає грані другої хоча б на одній з проекцій, то це ребро не перетинає цю грань. Водночас перетин проекцій ребра і грані ще не означає, що ці ребро і грань перетинаються у просторі.

Приклад. Побудувати лінію перетину поверхонь: призми і піраміди (рис. 13.2).

1. Проекції точок 1, 2, 3, 4 визначаємо з горизонтальної проекції (точки перетину ребер піраміди з гранями призми ).

2. Проекції точок перетину ребра 2 призми з гранями піраміди визначаємо за допомогою допоміжної горизонтально проектуючої площини  (точки 5 і 6 ).

3. З’єднуємо точки між собою в такій послідовності: 1-3-5-4-2-6-1.

Теоретичною основою цього питання є визначення точки перетину прямої з площиною.

Рис. 13.2