2. Центральне і паралельне проекціювання. Властивості проекцій

Для побудови зображення предметів на площині користуються методом проекціювання (проектування). Слово “ проекція” - латинське, що в перекладі означає “кинути вперед”.

Проекції поділяють на центральні і паралельні.

Ідею центрального проектування видно з рисунку 1.1.

Точка S, з якої виходять проектуючі промені, називається центром проекцій. Площина П₀, на яку проектуються точки називається площиною проекцій. Якщо провести через точку А і центр проекцій S пряму лінію, то вона перетне площину П₀ в точці А₀. Одержану точку А₀ називають центральною проекцією точки А на площину П₀. Аналогічно виконуємо вправу з точкою В. Лінію SAA₀ (SBB₀) називають проектуючим променем.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Якщо на проектуючому промені SAA₀ буде знаходитись точка С, то її проекція буде збігатися з проекцією точки А (С₀ ≡А₀).

Для того щоб отримати проекцію прямої лінії необхідно побудувати проекції двох її точок, наприклад відрізок АВ. Якщо лінія збігається з проектуючим променем (наприклад відрізок АС), то така лінія (відрізок) називається проектуючою і всі її точки на площині проекцій збігаються.

Властивості центральних проекцій :

1. Проекція точки є точка.

2. Проекція відрізка є відрізок.

3. Проекція площини є площина.

4. Проекція проектуючого відрізка є точка.

5. Проекція проектуючої площини є відрізок (наприклад А₀В₀С₀ - проекція площини АВС).

Важливо, маючи проекцію точки, визначити її положення у просторі. Знаючи А₀ (рис. 1.1), можемо стверджувати тільки те, що точка А лежить на проектуючій прямій SА₀, тобто одна проекція не визначає положення точки у просторі, і для визначення оригінала необхідні додаткові умови.

Візьмемо S' -ще один центр проекцій (рис. 1.2 ). Вкажемо додаткову проекцію А₀'. І таким чином одержимо оборотне креслення: точка А лежить на перетині двох проектуючих прямих. Дві проекції однозначно визначають положення точки у просторі.

Якщо центр проекцій S віддалити в нескінченність, то на кінцевому відрізку проектуючі промені будуть паралельні між собою (тобто задається напрямок проектування, а не центр проекцій). Така проекція називається паралельною (рис. 1.3).

Щоб спроектувати точку А на площину П₀, через неї проводимо проектуючий промінь, паралельний до напрямку проектування S. Промінь перетинає П₀ в точці А₀, яка називається паралельною проекцією точки А. Аналогічно будуємо паралельну проекцію точки В - В₀.

Рис. 1.3 Рис.1.4 Рис 1.5

Для визначення положення точки у просторі необхідно мати дві її паралельні проекції, одержані при двох різних напрямках проектування, тобто задати ще S' і одержати A'₀ (рис. 1.4).

Паралельні проекції поділяють на прямокутні і косокутні. Якщо проектуючі промені перпендикулярні до площини проекцій то такий спосіб проектування називається прямокутним, або ортогональним (рис. 1.5). Якщо ж кут нахилу променів не дорівнює 90⁰, то така паралельна проекція називається косокутною.

Надалі ми будемо користуватись прямокутною паралельною проекцією.