12.2. Пряма та площина, дотичні до поверхні. Нормаль до поверхні

Дотична до поверхні являє собою граничне положення прямої, яка перетинає поверхню в двох точках, коли точки перетину збігаються.

Дотичною до поверхні називається пряма, дотична до будь-якої кривої, яка належить поверхні.

Площина, дотична до поверхні в заданій на поверхні точці, являє собою множину всіх прямих-дотичних, проведених до поверхні через задану точку.

Оскільки площина цілком визначається двома прямими, що перетинаються, то для побудови площини, дотичної до поверхні в заданій точці (рис. 12.5), досить провести через цю точку дві довільні лінії, які належать поверхні (бажано прості за формою), і до кожної з них побудувати дотичні в точці перетину цих ліній. Побудовані дотичні цілком визначають дотичну площину. На поверхні обертання довільними кривими будуть: паралель - коло по якому обертається точка; меридіан - крива (або пряма твірна) на якій знаходиться точка.

Нормаллю до поверхні в заданій точці називається пряма, перпендикулярна до дотичної площини і проведена в точці дотику.

Приклад 1. Через точку М поверхні сфери провести площину, дотичну до поверхні (рис. 12.6).

Через точку М, яка лежить на поверхні сфери проведемо паралель а(а₁, а₂) і дотичну до неї, пряму h(h₁, h₂).

Горизонтальна проекція дотичної ₁ до меридіана d сфери, який проходить через точку М, збігається з горизонтальною проекцією меридіана. Щоб знайти фронтальну проекцію дотичної ₂, меридіональну площину Φ (МΦ) обертаємо навколо осі сфери до положення, паралельного площині П₂. Тоді точка М  М. Проведемо в точці М дотичну до головного меридіана (). Ця дотична перетинає вісь обертання в точці 1(1₂,1₁). Якщо ми тепер повернемо площину Φ у вихідне положення, то точка 1 залишиться на місці (як точка, що належить осі обертання), а М  М і фронтальна проекція дотичної ₂ пройде через точки 1₂ і М₂.

Рис. 12.5 Рис. 12.6

Приклад 2. Через точку А поверхні конуса провести площину, дотичну до поверхні (рис. 12.7).

Площина, дотична до конічної поверхні, дотикається до неї по прямолінійній твірній. Для її побудови через задану точку А проводимо твірну . Визначаємо точку М перетину твірної  з напрямною (колом основи конуса). Проводимо дотичну h(h₁, h₂) в точці М до кола основи. Твірна  разом з прямою h утворює площину, дотичну до поверхні конуса в точці А.

Рис. 12.7 Рис. 12.8

Приклад 3. Через точку А простору провести площину, дотичну до поверхні конуса (рис. 12.8).

Через вершину конуса S і точку А проводимо пряму  і будуємо її горизонтальний слід (точка 1). Через цю точку проводимо дотичні до основи конуса, які разом з прямою  утворюють дві площини, які будуть дотичні до поверхні конуса і проходити через точку А.

Запитання для самоперевірки

1. У чому полягає загальний метод побудови точок перетину прямої лінії з кривою поверхнею?

2. Як провести допоміжну січну площину при перетині конуса прямою лінією, щоб отримати на поверхні конуса прямі лінії?

3. Що називається площиною, дотичною до кривої поверхні в даній точці цієї поверхні?

4. Як побудувати площину, дотичну до поверхні в заданій точці?

5. Що називається нормаллю до поверхні?

6. Як побудувати площину, дотичну до сфери в будь-якій точці на сфері?