11.2. Види конічних перерізів. Переріз конуса площиною

Залежно від положення січної площини в перерізі конуса можуть утворюватись (рис. 11.3):

а) еліпс (повний або неповний), якщо січна площина перерізає всі прямолінійні твірні конічної поверхні;

б) у частковому випадку - коли січна площина перпендикулярна до осі конічної поверхні - коло;

в) парабола, якщо січна площина паралельна до однієї твірної конічної поверхні;

г) гіпербола, якщо січна площина паралельна до двох твірних конічної поверхні;

д) у частковому випадку - коли січна площина проходить через вершину конічної поверхні - гіпербола розпадається на дві пересічні прямі.

Рис. 11.3

Приклад 1. Побудувати проекції перерізу поверхні прямого кругового конуса горизонтально-проектуючою площиною  (рис. 11.4).

При перерізі конуса обертання горизонтально-проектуючою площиною , яка паралельна до двох прямолінійних твірних конічної поверхні, в перерізі отримаємо гіперболу, горизонтальна проекція якої збігається зі слідом ₁. Задача зводиться до побудови відсутньої фронтальної проекції цієї кривої.

В перетині ₁ з горизонтальною проекцією основи визначаються точки 1₁ і 2₁, а по них - проекції 1₂ і 2₂.

Для визначення точки 3(3₁, 3₂) - найвищої точки (вершини гіперболи) проведемо допоміжну горизонтально-проектуючу площину Δ через вісь конуса перпендикулярно до сліду ₁. Горизонтальну проекцію 3₁ шуканої точки 3 позначаємо в перетині ₁ і Δ₁. Визначивши фронтальну проекцію твірної SK, позначаємо на ній точку 3₂.

Далі визначаємо точку 4₂, в якій фронтальна проекція гіперболи розділяється на видиму і невидиму частини. Ця точка знаходиться за допомогою твірної SN, яка є обрисною у фронтальній проекції.

Для визначення інших точок гіперболи, можна провести декілька твірних в межах тієї частини поверхні конуса, яка позначена 154362, або декілька горизонтальних допоміжних січних площин. На рис. 11.4 за допомогою такої площини Φ знайдені точки 6 і 7.

Приклад 2. Побудувати проекції перерізу поверхні прямого кругового конуса площиною загального положення (h⁰ ∩ f⁰) (рис. 11.5).

Точки 1 і 2, в яких слід hперетинає коло основи конуса, будуть найнижчими точками кривої перерізу (еліпса -січна площина перетинає всі прямолінійні твірні конічної поверхні).

Найвищу точку 3 визначаємо за допомогою площини , яка проходить через вісь конуса перпендикулярно до січної площини .

Рис. 11.4 Рис. 11.5

Точку 4, в якій лінія перерізу у фронтальній проекції розділяється на дві частини - видиму і невидиму, визначаємо за допомогою допоміжної січної площини Δ, яку проводимо через обрисні (контурні) твірні фронтальної проекції.

Для визначення проміжних точок лінії перерізу зручно скористатися горизонтальними січними площинами, тому що вони перетинають поверхню конуса по колах, а площину  - по горизонталях. Придатні для цих побудов лише ті площини, у яких фронтальні сліди знаходяться у межах між 1₂2₂ і 3₂, тому що у даному випадку вище точки 3 і нижче точок 1 і 2 не може бути точок, які належать лінії перерізу. На рис. 11.5 показано побудову точок 5 і 6 за допомогою площини Ф.

Приклад 3. Побудувати проекції лінії перерізу поверхні конуса площиною загального положення (f ∩ h) (рис. 11.6).

Для спрощення розв'язання задачі здійснюємо заміну площини проекцій П₂ на нову площину П₄. Площину П₄ вибираємо так, щоб по відношенню до неї січна площина (h∩f) зайняла фронтально-проектуюче положення. П₄  . П₄ ∩ П₁ = Х₁₄. Х h₁. Спроектуємо на площину П₄ конічну поверхню. Виконані перетворення дозволили звести розв'язання задачі до випадків, розглянутих вище (рис. 11.1 і 11.4), коли січна площина займає проектуюче положення.

Рис. 11.6