
- •Міністерство освіти і науки україни кіровоградський національний технічний університет нарисна геометрія
- •Кіровоград 2004
- •П е р е д м о в а
- •Прийнята система скорочень і позначень
- •2. Лінії
- •3. Площини і поверхні
- •4. Кути
- •5. Натуральні величини, довжина, відстань
- •Л е к ц і я 1 м е т о д п р о е к ц і й. К о м п л е к с н е к р е с л е н н я т о ч к и
- •1.1. Предмет і метод нарисної геометрії
- •Центральне і паралельне проекціювання. Властивості проекцій
- •Властивості паралельних проекцій
- •1.3. Двокартинне комплексне креслення точки
- •1.4. Проекції точки на три площини
- •1.5. Ортогональні проекції і система прямокутних координат
- •1.6. Конкуруючі точки
- •1.7. Точка в квадрантах і октантах простору
- •Запитання для самоперевірки
- •2.2. Точка на прямій. Взаємне положення точки і прямої
- •Рис 2.11 Рис. 2.12
- •2.3. Сліди прямої
- •2.4. Визначення натуральної величини відрізка прямої і кутів його нахилу до площин проекцій
- •2.5. Взаємне положення двох прямих
- •Запитання для самоперевірки
- •Л е к ц і я 3 к о м п л е к с н е к р е с л е н н я п л о щ и н и
- •3.1. Способи зображення площини на комплексному кресленні
- •3.2. Сліди площини
- •3.3. Положення площини в просторі відносно площин проекцій
- •3.4. Прямі і точки, що лежать у площині
- •3.5. Головні лінії площини
- •Запитання для самоперевірки
- •Л е к ц і я 4 взаємне положення прямих і площин
- •Запитання для самоперевірки
- •Л е к ц і я 5 п е р п е н д и к у л я р н і с т ь
- •5.1. Теорема про проектування прямого кута
- •5.2. Взаємна перпендикулярність прямої і площини
- •5.3. Взаємна перпендикулярність двох площин
- •5.4. Взаємна перпендикулярність двох прямих
- •5.5. Визначення кута нахилу площини до площини проекцій
- •Запитання для самоперевірки
- •Л е к ц і я 6 с п о с о б и п е р е т в о р е н н я к о м п л е к с н о г о к р е с л е н н я
- •6.1. Загальні положення
- •6.2. Спосіб заміни площин проекцій
- •6.3. Спосіб плоско-паралельного переміщення
- •Запитання для самоперевірки
- •Л е к ц і я 7 с п о с о б и п е р е т в о р е н н я к о м п л е к с н о г о к р е с л е н н я
- •7.1. Спосіб обертання навколо проектуючої прямої
- •7.2. Обертання навколо лінії рівня (спосіб суміщення)
- •Запитання для самоперевірки
- •Л е к ц і я 8 м н о г о г р а н н и к и
- •8.1. Побудова проекцій многогранників
- •8.2. Переріз многогранника площиною
- •8.3. Перетин многогранника з прямою
- •Запитання для самоперевірки
- •Лекція 9 криві лінії
- •9.1. Способи утворення кривих ліній
- •9.2. Класифікація кривих ліній
- •9.3. Плоскі криві лінії
- •9.4. Проекції кола, яке лежить у площині
- •Б) в проектуючій площині
- •В) в площині загального положення
- •9.5. Просторові криві лінії
- •Циліндрична гвинтова лінія
- •Конічна гвинтова лінія
- •Запитання для самоперевірки
- •Лекція 10 поверхні
- •10.1. Способи утворення поверхонь
- •10.3. Лінійчаті поверхні
- •3). Лінійчаті поверхні з площиною паралелізму.
- •10.5. Поверхні паралельного переносу
- •10.6. Гвинтові поверхні
- •Запитання для самоперевірки
- •Лекція 11 переріз кривої поверхні площиною
- •11.1. Переріз кривої поверхні площиною
- •11.2. Види конічних перерізів. Переріз конуса площиною
- •Запитання для самоперевірки
- •Лекція 12 перетин прямої лінії з поверхнею
- •12.1. Перетин прямої лінії з поверхнею
- •12.2. Пряма та площина, дотичні до поверхні. Нормаль до поверхні
- •Запитання для самоперевірки
- •Лекція 13 взаємний перетин поверхонь
- •13.1. Побудова лінії перетину поверхонь (загальний випадок)
- •13.2. Перетин многогранних поверхонь
- •13.3. Перетин кривої поверхні з поверхнею многогранника
- •13.4. Взаємний перетин кривих поверхонь. Посередник площина рівня (загальний випадок)
- •Запитання для самоперевірки
- •Лекція 14 взаємний перетин поверхонь
- •14.1. Взаємний перетин поверхонь. Посередник - площина загального положення
- •Запитання для самоперевірки
- •Лекція 15 взаємний перетин поверхонь
- •15.1. Побудова лінії перетину поверхонь за допомогою січних сфер
- •15.2. Спосіб концентричних сфер
- •15.3. Спосіб ексцентричних сфер
- •15.4. Перетин кривих поверхонь другого порядку по плоских кривих
- •Запитання для самоперевірки
- •16.2. Розгортка многогранних поверхонь
- •16.3. Розгортка лінійчатих поверхонь
- •. Умовна розгортка поверхонь
- •Запитання для самоперевірки
- •Лекція 17 аксонометричні проекції
- •17.1. Загальні визначення і види аксонометричних проекцій
- •Теорема Польке
- •17.3. Трикутник слідів і його властивості
- •З цих прямокутних трикутників можна записати:
- •Прямокутні аксонометричні проекції
- •17.5. Коло в прямокутній аксонометричній проекції
- •17.6. Косокутні аксонометричні проекції
- •Запитання для самоперевірки
- •Список рекомендованої літератури
- •Питання до екзамену
3). Лінійчаті поверхні з площиною паралелізму.
До цього типу лінійчатих поверхонь відносяться поверхні, всі твірні яких паралельні постійній площині , яку називають площиною паралелізму.
Циліндроїд- лінійчата поверхня , яка має площину паралелізму і дві криволінійні напрямні (рис. 10.9).
Коноїд- лінійчата поверхня, яка має площину
паралелізму, одну криволінійну, а другу
прямолінійну напрямні (рис. 10.10).
Рис. 10.9 Рис. 10.10 Рис. 10.11
Гіперболічний параболоїд (коса площина)- поверхня з двома мимобіжними прямолінійними напрямними, при цьому твірна залишається паралельною площині паралелізму (рис. 10.11).
10.4. Поверхні обертання
В техніці, зокрема в машинобудуванні, поверхні обертання знаходять широке використання. Це пояснюється розповсюдженістю обертального руху і простотою обробки поверхонь обертання на верстатах.
Поверхнею обертання називається поверхня, яка утворюється при обертанні будь-якої твірної (прямої, плоскої або просторової кривої) навколо нерухомої осі (рис. 10.12а).
До визначника поверхні обертання входять твірна m та вісь обертання ί: Q(m, ί).
Точки твірної кривої m описують навколо осі ί кола: кола, утворені в результаті перетину поверхні обертання площинами, перпендикулярними до осі поверхні обертання, називаються паралелями.
Паралель, менша за дві сусідні з обох боків, називається горлом.
Паралель, більша за дві сусідні з обох боків, називається екватором.
Лінії, що
утворюються в результаті перетину
поверхні обертання площинами, які
проходять через вісь, називаються
меридіанами.
Фронтальний меридіан називається
головним.
а) б)
Рис. 10.12
При задаванні поверхні обертання на кресленні (рис. 10.12б) звичайно вказують проекції її осі, головного меридіана та екватора (інколи показують коло, по якому поверхня обертання перетинається з площиною проекцій). При цьому вказують тільки горизонтальну проекцію екватора (або паралелі) і фронтальну проекцію головного меридіана.
Властивості поверхонь обертання.
1). Поверхні обертання мають властивість зміщування. Обертаючись навколо своєї осі, вони можуть зміщуватись без деформації вздовж самої себе.
2). Якщо меридіан поверхні обертання проходить через дві точки поверхні, то він є найкоротшою лінією між цими точками. Всі меридіани рівні між собою.
3). Кожна з паралелей поверхні обертання перетинає всі меридіани під прямим кутом.
4). Кожна з нормалей до поверхні обертання перетинає вісь поверхні.
Поверхні обертання другого порядку. Точка на поверхні.
При обертанні кривої другого порядку навколо її осі утворюється поверхня обертання другого порядку.
Сфера - якщо твірна лінія є коло, а вісь обертання збігається з її діаметром (рис. 10.13).
Еліпсоїд обертання утворюється обертанням еліпса навколо його осі (рис. 10.14).
Параболоїд обертання утворюється обертанням параболи навколо її осі (рис. 10.15).
Рис. 10.13 Рис. 10.14 Рис. 10.15
Однопорожнинний гіперболоїд обертання утворюється обертанням гіперболи навколо її уявної осі (рис 10.16).
5. Двопорожнинний гіперболоїд обертання утворюється обертанням гіперболи навколо її дійсної осі (рис. 10.17).
Рис. 10.16 Рис. 10.17
Тор - поверхня 4-го порядку - утворена обертанням кола навколо осі, яка не проходить через центр кола (рис. 10.18).
В залежності від співвідношення величин R - радіуса твірного кола і відстані t від центра кола до осі обертання поверхні тора поділяють на:
відкритий тор (або кільце) при R t - коло не перетинає вісь обертання (рис. 10.18,а);
закритий тор при R t - коло перетинає вісь обертання або дотикається до неї (рис. 10.18,б).
а) б)
Рис. 10.18