9.2. Класифікація кривих ліній

Плоскими називаються криві лінії, всі точки яких лежать в одній площині.

Ознакою плоскої кривої на епюрі є належність проекцій всіх точок кривої однойменним проекціях прямих, які належать площині (рис. 9.4).

Рис. 9.4

Тобто, за двома ортогональними проекціями кривої неможливо одразу відповісти на запитання, плоскій чи просторовій кривій відповідають задані проекції. Необхідно з'ясувати, чи належать усі точки кривої одній площині. Якщо належать, крива - плоска, якщо не належать - просторова.

Просторовими називаються криві лінії, всі точки яких не належать одній площині (рис 9.5).

Щоб визначити, плоска чи просторова крива лінія m(m₁, m₂) задана на епюрі (рис. 9.6), необхідно:

позначити на кривій m три довільні точки А, В, С, які визначають собою площину;

взяти на кривій m четверту довільну точку D і перевірити, чи належить вона цій площині.

Виявилось, що точка D площині АВС не належить.

Крива лінія m(m₁,m₂) просторова.

Рис. 9.5 Рис. 9.6

Алгебраїчний порядок кривої визначає степінь її рівняння.

Геометричний порядок плоскої кривої дорівнює найбільшій можливій кількості точок перетину її з прямою лінією, а порядок просторової кривої - кількості точок перетину її з площиною загального положення.

9.3. Плоскі криві лінії

На рис. 9.7 показана плоска крива m. Візьмемо на ній довільну точку М і проведемо через неї січну . Коли точка М', рухаючись по кривій m, співпаде з точкою М, січна (М'М) досягне свого граничного положення (пряма t). Напрям переміщення точки в кожному її положенні визначається дотичною прямою t-t в заданій точці М кривої лінії.

Дотичною прямою t-t в точці М плоскої кривої m називається граничне положення січної  (М М), коли точка М, залишаючись на кривій m, наближається до точки М.

Нормаль n до плоскої кривої m в точці М - це пряма, яка лежить у площині  (в цій площині лежить крива m) і перпендикулярна до дотичної в точці М.

Рис. 9.7 Рис. 9.8

Для побудови проекцій плоскої кривої необхідно перш за все визначити особливі точки і точки, які найбільш і найменш віддалені від площин проекцій (рис. 9.8).

Звичайна точка (А) - в цій точці дуги кривої знаходяться з одного боку від дотичної, але з різних боків від нормалі.

Точка перегину (В) - в цій точці дуги кривої лежать по різні сторони від дотичної і нормалі.

Точка звороту (С) - вістря - в цій точці дуги кривої знаходяться по різні боки від дотичної і по один бік від нормалі.

Точка звороту (D) - дзьоб - в цій точці обидві дуги кривої знаходяться з одного боку від дотичної і з одного боку від нормалі.

Точка злому (Е) - в цій точці крива має дві дотичні.

Точка вузла (F) - в цій точці крива сама себе перетинає і має дві дотичні.

Точка самодотику (G) - в цій точці крива, зустрічаючись із собою, має одну дотичну.

Основні властивості проекцій плоских кривих:

1) порядок плоскої алгебраїчної кривої при паралельному проектуванні не змінюється;

2) нескінченно віддалені точки кривої проектуються в нескінченно віддалені точки її проекції;

3) дотична до кривої проектується в дотичну до її проекції;

4) число точок перетину плоских кривих зберігається при проектуванні;

5) проекції точок перетину знаходяться на спільних лініях зв’язку.