Л е к ц і я 8 м н о г о г р а н н и к и

8.1. Побудова проекцій многогранників

Многогранником називається тіло, яке обмежене плоскими многокут­никами. Елементами многогранника є: площини (грані), ребра (лінії перетину двох граней), вершини (спільні точки декількох граней).

Сукупність всіх ребер многогранника називають його сіткою. Із всієї кількості многогранників для нас найбільший практичний інтерес являють піраміди, призми і правильні опуклі многогранники.

У правильних опуклих многогранників усі ребра, грані, плоскі двогранні та просторові кути дорівнюють один одному.

Різновидності правильних многогранників:

1. Тетраедр (чотиригранник) - грані рівні трикутники;

2. Октаедр (восьмигранник) - грані рівні трикутники;

3. Ікосаедр (двадцятигранник) - грані рівні трикутники;

4) Гексаедр (шестигранник) - грані квадрати;

5) Додекаедр (дванадцятигранник) - грані правильні п’ятикутники.

Навколо всіх правильних многоранників можна описати сферу.

Пірамідою називається многогранник у якого всі бічні ребра перетинаються в одній точці.

Призмою називається многогранник у якого всі бічні ребра паралельні між собою. Основами призми є рівні многокутники. Якщо основи призми перпендикулярні бічним ребрам, то призма називається прямою. Якщо цієї умови немає - призма похила. Побудова проекцій многогранника зводиться до побудови його сітки.

Комплексне креслення призм, пірамід і інших многогранників краще виконувати з тих площин проекцій, на які їх основи проектуються в натуральну величину (рис. 8.1 і 8.2).

Рис. 8.1 Рис. 8.2

При розв’язанні різних задач часто необхідно визначити на поверхні многогранника точку чи відрізок прямої. Ця задача полегшується, якщо точка чи відрізок знаходяться у проектуючих гранях. Наприклад: бічні грані прямої призми (рис. 8.1). У випадку загального положення граней виконують такі ж самі побудови, як при визначенні точки чи відрізка прямої, що належить площині загального положення.

Так, якщо задані фронтальні проекції К₂, М₂ точок, що лежать на поверхні призми (рис. 8.1), то горизонтальні проекції цих точок визначаються просто. Бічні грані призми є горизонтально проектуючими, тому горизонтальні проекції всіх точок, що лежать у цих гранях збігаються зі слідами-проекціями відповідних граней.

Якщо точки E і F лежать на бічних гранях піраміди (рис. 8.2), то для визначення відсутніх проекцій точок необхідно в гранях через ці точки провести довільні прямі, визначити положення проекцій цих прямих на проекціях граней многогранника, а потім визначити положення проекцій точок E і F на проекціях відповідних прямих, яким вони належать.

8.2. Переріз многогранника площиною

При перерізі многогранника площиною утворюється плоска фігура, що називається перерізом. Перерізом многогранника є многокутник вершинами якого служать точки перетину ребер многогранника з січною площиною, а сторонами є лінії перетину цієї площини з гранями многогранника.

Розрізняють два способи побудови плоского перерізу многогранника:

1. знаходження вершин многокутника перерізу (спосіб ребер);

2. знаходження сторін многокутника перерізу (спосіб граней).

У першому випадку побудова зводиться до багатократного розв'язання задачі на знаходження точки перетину прямої з площиною (перша позиційна задача), у другому випадку - на знаходження лінії перетину двох площин (друга позиційна задача). Можлива комбінація в використанні цих двох способів.

Приклад 1. Переріз многогранника проектуючою площиною (рис. 8.3).

Розв'язання задачі на визначення перерізу многогранника площиною значно спрощується, якщо січна площина займає проектуюче положення. У цьому випадку одна з проекцій перерізу - відрізок прямої - належить сліду-проекції січної площини.

Визначення другої проекції лінії перерізу зводиться до розв'язання раніше розглянутої задачі на побудову відсутньої проекції точки, що належить многограннику, якщо відома хоча б одна її проекція.

Рис. 8.3

Приклад 2. Переріз многогранника площиною загального положення (a ∩ b) (рис. 8.4).

На відміну від попередньої задачі переріз призми площиною  на площини проекцій П₁ і П₂ не проектується у вигляді прямої лінії.

Але, оскільки бічна поверхня призми горизонтально-проектуюча (три бічні грані є площинами, перпендикулярними до П₁), то горизонтальна проекція перерізу призми площиною  збігається з горизонтальною проекцією призми. Внаслідок цього горизонтальні проекції вершин перерізу збігаються з горизонтальними проекціями ребер призми, а горизонтальні проекції сторін перерізу - з горизонтальними проекціями граней призми.

Задачу розв'язуємо способом граней, двічі розв'язуючи задачу про перетин двох площин, одна з яких є горизонтально-проектуючою.

Рис. 8.4

Приклад 3. Побудувати проекції перерізу трикутної призми площиною (m  n) - загального положення (рис. 8.5).

Розв'язання задачі ускладнюється тим, що на П₁ і П₂ переріз не проектується у вигляді відрізка прямої, а бічна поверхня призми не є проектуючою - бічні грані займають загальне положення.

В заданому випадку необхідно використати спосіб ребер: послідовно побудувати точки перетину бічних ребер з площиною загального положення. Для цього через бічні ребра проводимо допоміжні площини (в даному випадку - горизонтально-проектуючі , , ) - тричі розв'язуємо задачу про перетин прямої з площиною.

Рис. 8.5