5.3. Взаємна перпендикулярність двох площин

Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до другої. Тому достатньо, щоб серед елементів, які задають площину , яка перпендикулярна площині , був перпендикуляр до площини (ABC).

Задача 1. Через точку М провести площину , яка перпендикулярна до заданої площини  (рис. 5.9).

Щоб провести через точку М площину, перпендикулярну до площини , треба спочатку з точки М опустити перпендикуляр на цю площину.

1). Проводимо h i f  .

2). Проводимо проекції перпендикуляра , опущеного з точки М на площину : ₁  h₁; ₂  f₂.

3). Будуємо площину (  m). Пряму m  m₁, m₂ проводимо довільно, оскільки площин, які проходять через пряму  і перпендикулярних до площини , безліч, а тому довільною прямою m визначена одна з можливих.

Рис. 5.9 Рис. 5.10

Задача 2. Через точку М провести площину , яка перпендикулярна площині  (h⁰  f⁰ ) (рис. 5.10).

1) Задаємо площину  (  m): ₁  h₁⁰ ; ₂  f₂⁰

2) Пряму m  m₁, m₂ проводимо довільно.

5.4. Взаємна перпендикулярність двох прямих

Зміст цього питання розглянемо при розв'язанні задачі на визначення відстані від точки до прямої, оскільки саме відстань від точки до прямої визначається довжиною відрізка перпендикуляра, проведеного з точки на пряму.

Розглянемо три випадки.

Випадок 1. Пряма ί  П₂ (П₁); точка А.

У випадку, коли пряма займає часткове положення (паралельне або перпендикулярне до площини проекцій), на основі теореми про проектування прямого кута можна без будь-яких допоміжних побудов провести проекції прямої, перпендикулярної до заданої (рис. 5.11, 5.12).

Являючись фронтально-проектуючою, (рис. 5.11) пряма ί водночас є горизонталлю, а тому на П₁ вона зберігає свою перпендикулярність з перпендикуляром, опущеним з точки А на неї. Таким чином, на комплексному кресленні А₁К₁  ί₁. Очевидно, що АК - фронталь, а тому А₂К₂ - натуральна величина відрізка перпендикуляра АК.

Рис. 5.11 Рис. 5.12

Випадок 2. Пряма  паралельна П₂(П₁); точка А.

Оскільки  - фронталь (рис. 5.12), то на П₂ вона збереже перпендикулярність з перпендикуляром, проведеним до неї з точки А: А₂К₂ ₂. З комплексного креслення очевидно, що відрізок АК - загального положення, а тому його натуральну величину визначаємо способом прямокутного трикутника.

Випадок 3. Пряма  загального положення; точка А (рис. 5.13).

Якщо пряма займає загальне положення то для визначення відстані від точки до прямої використовуємо відому з геометрії теорему: дві прямі взаємно перпендикулярні тільки в тому випадку, якщо через кожну з них можна провести площину, перпендикулярну до другої прямої.

1). Через точку А проводимо площину , перпендикулярну до прямої . А  ;   . (h  f); h₁  _1, f₂  ₂.

2).  визначає множину прямих, перпендикулярних до прямої , які проходять через точку А. Щоб виділити з цієї множини єдину пряму, яка перетинає пряму  і відрізком якої вимірюється відстань від точки А до прямої , необхідно знайти точку К зустрічі прямої  з площиною  і з'єднати її з точкою А.    = K:   ; ₂  ₂;   ₂. АК- відстань від точки А до прямої .

3). Способом прямокутного трикутника визначаємо натуральну величину відрізка АК.

Рис. 5.13