Запитання для самоперевірки

1. Яке взаємне положення можуть займати пряма і площина? дві площини?

2. Яка умова паралельності прямої і площини? двох площин?

3. Як взаємно розташовані однойменні сліди двох паралельних між собою площин?

4. Чи є ознакою взаємного перерізу двох площин перетин хоча б одної пари їх однойменних слідів?

5. Як визначити взаємне положення прямої і площини?

6. Як будується точка перетину прямої лінії з площиною, перпендикулярною до одної чи до двох площин проекцій?

7. Як будується лінія перерізу двох площин, з яких хоча б одна перпендикулярна до П₁ або П₂?

8. В чому полягає загальний метод побудови лінії перерізу двох площин?

Л е к ц і я 5 п е р п е н д и к у л я р н і с т ь

5.1. Теорема про проектування прямого кута

Для того, щоб ортогональна проекція прямого кута на яку-небудь площину проекцій була прямим кутом, необхідно і досить, щоб хоча б одна зі сторін цього кута була паралельною площині проекцій (рис. 5.1), в той час, як інша сторона не повинна бути перпендикулярною до цієї площини проекцій:

 ABC=90⁰: BC // П₀   A₀B₀C₀=90⁰.

Доведемо це. Продовжимо АВ до перетину з площиною П₀ в точці К  К₀. Через точку К­₀ в площині П₀ проведемо пряму ₀ // B₀C₀. Оскільки ₀ // B₀C_0, а B₀C₀ // BC, то ₀ // BC. Звідси кут BK₀L₀ = 90⁰. Згідно з теоремою про три перпендикуляри (пряма, яка належить площині, тоді і тільки тоді перпендикулярна похилій до цієї площини, коли вона перпендикулярна до її проекції на розглядувану площину) кут B₀K₀L₀ теж прямий. Через те, що K₀L₀ // B₀C_0, а кут B₀K₀L₀=90⁰ і кут K₀B₀C₀ = 90⁰.

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Висновок:

1. Якщо проекція плоского кута являє собою прямий кут, то проектований кут буде прямим лише за умови, що хоча б одна зі сторін цього кута паралельна площині проекцій (рис. 5.2).

2. Якщо проекція будь-якого кута, у якого одна із сторін паралельна площині проекцій, являє собою прямий кут, то проектований кут теж буде прямим (рис. 5.2).

Теорема про проектування прямого кута є теоретичною передумовою для побудови на комплексному кресленні проекцій прямих і площин, взаємно перпендикулярних у просторі.

5.2. Взаємна перпендикулярність прямої і площини

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються. Ця ознака перпендикулярності прямої і площини відома з геометрії.

Спочатку розглянемо часткові випадки, коли площина паралельна або перпендикулярна до площини проекцій.

Якщо площина паралельна площині проекцій, то пряма, яка перпендикулярна до неї, буде проектуючою. Одна з її проекцій буде перпендикулярною до сліду проекції площини.

Наприклад, задано площину  // П₁ (рис. 5.3) і точку А(А_1,А₂). Необхідно через точку А провести пряму ί  .

Оскільки  // П₁, а ί  , то ί  П₁. А  ί : ί ₁  А₁, ί₂  ₂.

Рис. 5.3 Рис. 5.4

Якщо площина займає проектуюче положення, то пряма лінія, яка перпендикулярна до площини, буде прямою рівня.

Наприклад, задано площину   П₂ (рис. 5.4) і точку А(А₁,А₂). Необхідно через точку А провести пряму   .

Оскільки площина   П₂, а   , то пряма  // П₂  ₁ // X₁₂,_, ₂  ₂.

Якщо площина  займає загальне положення, то і перпендикуляр до цієї площини теж буде займати загальне положення.

Наприклад, задано площину  в системі площин проекцій П₁П₂ (рис. 5.5). Пряма n  . А - основа перпендикуляра на площині . Якщо провести через точку А у площині  фронталь f і горизонталь h, то ці прямі утворять з прямою n прямі кути, як і будь-які інші прямі, що належать площині , оскільки з геометрії відомо, що пряма, перпендикулярна до площини, перетинається або схрещується під прямим кутом з будь-якою прямою, проведеною на цій площині.

Але на комплексному кресленні перпендикулярність зберігається не з кожною прямою. Саме тому ми виділяємо фронталь і горизонталь.

Через те, що h // П₁, прямий кут, утворений нею з прямою n   спроектується на П₁ без спотворення на основі теореми про проектування прямого кута. З тієї ж причини кут, утворений f з прямою n  , спроектується на П₂ також без спотворення.

Таким чином, для побудови проекцій перпендикуляра до площини необхідно мати лінії рівня чи сліди площини (рис. 5.6):  - площина загального положення, А   , n   , A  n, h і f  , h // h₁⁰: f // f₂⁰ : n₁  h₁⁰ : n₂  f₂⁰_.

Висновок. Для того, щоб пряма у просторі була перпендикулярна до площини, необхідно і достатньо, щоб на комплексному кресленні горизонтальна проекція прямої була перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі площини, а фронтальна проекція прямої перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі площини (або необхідно і достатньо, щоб проекції цієї прямої були перпендикулярні до однойменних слідів площини): n₁  h₁, n₂  f₂  n  (f,h).

Рис. 5.5 Рис. 5.6

Можна провести перпендикуляр до площини з будь-якої точки, а потім розв'язувати задачу про знаходження точки перетину прямої з площиною. Розвиваючи цю думку, приходимо до задачі на визначення відстані від точки до площини.

Задача 1. Визначити відстань від точки А(A₁, A₂) до площини (c // d) (рис. 5.7).

Відстань від точки до площини вимірюється довжиною відрізка перпендикуляра, опущеного з точки на площину : n  ; A  n .

1). Проводимо лінії рівня площини h і f.

2). Проводимо проекції перпендикуляра з точки А до площини :

n₁  h₁; n₂  f₂. Зауважимо, що пряма n схрещується з f і h під прямими кутами, а тому основи перпендикуляра на площині ми не маємо.

3). Знаходимо точку К перетину прямої n з площиною : К = n  .

4). Визначаємо натуральну величину відрізка перпендикуляра АК способом прямокутного трикутника.

Рис. 5.7 Рис. 5.8

Можна розв'язати зворотну задачу, тобто побудувати площину, перпендикулярну до заданої прямої.

Задача 2. Через точку А(А₁,А₂) провести площину , яка перпендикулярна до прямої . Пряма  - загального положення

Площина буде перпендикулярна до прямої, якщо дві перетинні прямі цієї площини будуть перпендикулярні до заданої прямої. А тому проведення через точку А площини , перпендикулярної до прямої , виконується шляхом побудови фронталі і горизонталі, які схрещуються під прямими кутами із заданою прямою: А; (h  f): h₁  ₁ ; f₂  ₂ (рис. 5.8).