Запитання для самоперевірки

1. Як задається площина на комплексному кресленні?

2. Що таке слід площини?

3. Де розташовуються фронтальна проекція горизонтального сліду і горизонтальна проекція фронтального сліду площини?

4. Які площини називаються площинами рівня? Які властивості цих площин?

5. Які площини називаються проектуючими? Які властивості цих площин?

6. Сформулюйте умови належності прямої площині.

7. Як побудувати на кресленні точку, яка належить заданій площині?

8. Які прямі називаються горизонталями площини? фронталями?

9. Що таке лінія найбільшого нахилу площини?

Л е к ц і я 4 взаємне положення прямих і площин

Загальним випадком взаємного положення прямої і площини є їх перетин. Якщо точка перетину знаходиться у нескінченності, то пряма і площина паралельні між собою.

Загальним випадком взаємного положення двох площин є їх переріз. Якщо лінія перерізу знаходиться в нескінченності, то площини будуть паралельні між собою.

В залежності від взаємного положення прямої і площини, площин відносно площин проекцій і відносно одна одної можливі наступні випадки:

Випадок 1. Перетин прямої  загального положення з проектуючою площиною   ₂ (рис. 4.1).

   = К(К₁; К₂). Проекція точки перетину прямої  з площиною  на П₂ - К₂ визначається відразу: ₂  ₂ = К₂. За допомогою лінії зв’язку визначаємо горизонтальну проекцію точки К - К₁, виходячи з умови належності точки К прямій . Видимість на П₁ визначаємо за допомогою точок 1 і 2, конкуруючих відносно площини проекцій П₁.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Випадок 2. Перетин проектуючої прямої   ₁ з площиною (a  b) загального положення (рис. 4.2).

   = K. ₁  K₁; K  , K  ; K  12; 12  . Видимість на П₂ визначаємо за допомогою конкуруючих точок 3 і 4.

Випадок 3. Перетин прямої  загального положення з площиною  загального положення (рис. 4.8 і 4.9). Розв'язання даної задачі зводиться до розв'язання задачі на переріз двох площин, а тому буде розглянуто далі (після випадку 7).

Випадок 4. Паралельність прямої і площини.

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якій-небудь прямій, розміщеній на цій площині.

Якщо через точку в просторі треба провести пряму, паралельну площині, то спочатку в цій площині проводимо яку-небудь пряму, а потім через задану точку проводимо другу пряму, паралельну першій.

Приклад 1. Через точку М простору провести пряму , паралельну заданій площині (АВС) (рис. 4.3).   M;  // : проводимо довільну пряму 12, яка належить площині ; проводимо пряму  // 12  ₁ // 1₁2₁; ₂ // 1₂2₂.

Приклад 2. Задана площина (h⁰  f⁰) і точка М. Через точку М провести пряму , паралельну заданій площині  і площині проекцій П₁ (рис. 4.4).

Через М₁ проводимо ₁ // h₁⁰; через М₂ - ₂ // h₂⁰   // h.

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Випадок 5. Переріз двох площин, перпендикулярних до однієї з площин проекцій.

Рис. 4.5 Рис. 4.6

Дві площини, перпендикулярні до якої-небудь площини проекцій, перерізаються по прямій, яка перпендикулярна до тієї самої площини проекцій (рис.4.5).

  П₂,  П₂,    = і, і  П₂, і₂ - точка, і₁ -  Х₁₂.

Випадок 6. Переріз двох площин, перпендикулярних до різних площин проекцій.

Дві площини, які перпендикулярні до різних площин проекцій, перерізаються по прямій, проекції якої збігаються зі слідами-проекціями площин (рис. 4.6).

 (  АВС )  П₁ ,  (  DEF )  П₂ .

   = n; n₁  ₁; n₂  ₂.

Випадок 7. Переріз площини  проектуючого положення з площиною  загального положення (рис. 4.7).

  П₂, (DEF); (АВС).    = n. n  ; n  ; n₂  ₂; пряму n фіксуємо двома точками - 1 і 2, які є спільними для обох площин, що перетинаються. Видимість площин  і  визначаємо на П₁ за допомогою конкуруючих точок 3 і 4.

Рис. 4.7

Випадок 3. Перетин прямої  загального положення з площиною  загального положення (рис. 4.8 і 4.9).

На рис. 4.8 зображені площина  і пряма , що перетинається з цією площиною. Проведемо через пряму  площину . Якщо знайти пряму MN перерізу площин  і , то точка перетину прямих  та MN буде точкою, в якій пряма  перетинається з площиною . Цю точку (К) часто називають точкою зустрічі прямої з площиною.

Таким чином, побудова точки зустрічі прямої загального положення з площиною загального положення складається з трьох операцій:

1. Проведення через задану пряму допоміжної площини- посередника. (Як допоміжні звичайно використовуються проектуючі площини внаслідок простоти, з якою здійснюється проведення цих площин через прямі лінії на комплексному кресленні - завдяки збиральній властивості одного зі слідів-проекцій таких площин).

2. Знаходження лінії MN перерізу заданої площини  з допоміжною площиною посередником .

3. Визначення точки К перетину заданої прямої  зі знайденою лінією перерізу двох площин. Точка К є шуканою точкою перетину прямої  з площиною .

На комплексному кресленні (рис. 4.9) задачу розв'язуємо в такому порядку:

1)   ;   ₂;

2)    = MN; M  AC; N  BC;

3) MN   = К; M₂N₂  ₂; M₁N₁ ₁ = K₁; K₂  ₂.

4) Видимість прямої  по відношенню до площини  на П₁ і П₂ визначаємо за допомогою конкуруючих точок 1 i M; 2 і 3.

Рис. 4.8 Рис. 4.9

Випадок 8. Переріз двох площин загального положення (рис. 4.10).  ( АВС ); (a // в);    = n( MN).

Дві площини перерізаються по прямій лінії, а положення прямої цілком визначається двома точками. Тому розв'язання задачі на побудову проекцій прямої перерізу двох площин у загальному випадку зводиться до визначення проекцій двох точок, які одночасно належать кожній з площин, що перерізаються. Лінія перерізу площин пройде через ці дві точки.

Задачу можна розв'язати двома способами:

1. способом знаходження точки зустрічі прямої з площиною (на рис. 4.10 - точка М);

2. способом допоміжних січних площин (метод посередника) (на рис. 4.10 - точка N).

Суть метода посередника:

а) дві задані площини перерізаються третьою допоміжною площиною-посередником;

б) будується лінія перерізу кожної з заданих площин з посередником;

в) знаходиться точка, в якій перетинаються ці лінії перерізу і яка є одною з точок шуканої лінії перерізу заданих площин.

Розв'язання задачі:

1). Вводимо допоміжну площину ;   ₂;

  a. a   = M.    =  ; ₂  a₂  ₂; ₁  a₁ =M₁  M₂.

2). Ф  П₂; Ф   = m ( точки 3,4); Ф   =d (5,6);

d  m = N ; Ф₂  d₂  m₂  N₂; d₁  m₁= N₁.

3). Видимість площин на П₁ і П₂ визначаємо за допомогою конкуруючих точок 7 і 8; 9 і 10.

Рис. 4.10

Випадок 9. Паралельність двох площин.

Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї з них відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої.

Площини особливого положення паралельні тоді, коли паралельні їх однойменні сліди - проекції.

Щоб побудувати через задану точку К площину, паралельну площині (а  b), досить через точку К провести дві прямі, відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються і належать площині  (рис. 4.11).

Приклад 1. Задано площину (а  b) і точку К. Через точку К провести площину  паралельну заданій площині .

Площину  задаємо двома прямими, що перетинаються в точці К. ( // n): // a :  ₁ // a₁; ₂ // a₂; n // b :  n₁ // b₁; n₂ // b₂.

Рис. 4.11 Рис. 4.12

Приклад 2. Через точку А провести площину , яка паралельна заданій площині (h⁰  f⁰) (рис. 4.12).

Для розв'язання задачі через точку А проводимо горизонталь h(h₂,h₁) і визначаємо фронтальний слід прямої h (точка 1  1₁,1₂). Через точку 11₂ проводимо f₂⁰ // f₂⁰ до перетину з віссю Х₁₂ в точці Х^. З точки збігу слідів Х^ проводимо h₁⁰ // h₁⁰. Прямі h⁰ f₂⁰ утворюють площину , яка проходить через точку А і паралельна площині .