6. Описати Математичні моделі у формі інтегро-диференційних рівнянь

Нехай система описується інтегро-диференційним рівнянням. Для отримання загального представлення у формі інтегро-диференціального рівняння введемо до виразу (3.9) інтеграли від зовнішніх дій та реакцій схеми. В результаті опис набуде форми інтегро-диференціального рівняння виду:

xt, x't,, x^mt,  xtdt,  xtdt²,, ^r  xtdt^r ,

yt, y't,, y^nt, ytdt, ytdt²,, ^s  ytdt^s  0 . (3.19)

де аргументами функції  є скалярні часові функції від залежностей зовнішніх дій x t( ) , реакцій системи y t( ), їх похідних та інтегралів за відомих початкових умов. Визначимо структуру та параметри опису (3.19) за відомими аргументами.

Нехай схема задовольняє наступну вимогу: її математичний оператор (функція  [ ] (3.19)) є неперервним за всіма своїми аргументами. Зокрема, неперервність за аргументом x t( ) означає, що для довільного  0 можна вказати певне число   0 , яке залежить від  , таке, що при t  [t₀, ]T , де T  0, виконується умова x₁( )t  x₂( )t   . Тоді

 ^_x₁( )t ,x t( ),,x^{(m )}( )t ,  x t dt( ) ,  x t dt( ) ², ,  _r x t dt( ) ^r , y t( ),y t( ),, y^{( )n} ( )t ,  y t dt( ) ,  y t dt( ) ², ,  _s  y t dt( ) ^s_ 

  x₂( )t ,x( )t ,, x ^(m)( )t ,  x t dt( ) ,  x t dt( ) ², ,  _r x t dt( ) ^r ,

_ y t( ),y t( ),,y^{( )n} ( )t ,  y t dt( ) ,  y t dt( ) ², ,  _s  y t dt( ) ^s_^  ,

при цьому   0, коли   0. Аналогічно означуємо неперервність і за іншими аргументами. Задамо для всіх моментів часу t  [t₀, ]T скінченну множину сигналів {X_N ( )t } { x_k ( )t }_k^N_1 таку, що {X_N ( )t } { X t( )}, де {X t( )} – множина всіх можливих вхідних сигналів. Задамо відповідні сигнали {Y_N ( )t } { Y t( )}, де {Y_N ( )t } { y_k ( )t }_k^N_1, {Y t( )} – множина всіх можливих вихідних сигналів. Тоді для всіх моментів часу t математичні описи вхідних та вихідних сигналів схеми, їх похідних та інтегралів можуть бути отримані шляхом їх апроксимації аналітичними залежностями, числового диференціювання та інтегрування.

Покладемо, що для заданих сигналів x t( ) і y t( ) існує певний математичний оператор, який відображає миттєві значення дій x t( )_i у відповідні миттєві значення реакцій y t( )_i . Визначимо структуру та параметри математичної моделі схеми, для чого обгрунтуємо можливість побудови оператора, яким можна апроксимувати функцію  [ ] і за допомогою якого з множини {X_N ( )t } у множину {Y_N ( )t } можна переводити часові функції, які складаються зі своїх миттєвих значень.

7. Які висновки можна зробити згідно теореми Стоуна – Вейєрштраcса?

Твердження 3.1. Нехай нелінійна система описується рівнянням (3.19), функція  [ ] якого є неперервною у певній області зміни своїх аргументів. Нехай також задано аналітичні вирази для сигналів x t( )  {X_N ( )t }, y t( ) {Y_N ( )t }, де {X_N ( )t } {, Y_N ( )t } – компактні множини сигналів. Тоді для сигналів x t( ),y t( ) і деякого   0 завжди знайдеться такий алгебричний многочлен, зокрема багатовимірний поліном L [ ] скінченного степеня (k₀   k_m  k_{m 1}   k_s)   , що буде виконуватися нерівність

L [ ]   ,

де

K0 Ks

L [ ]   C_k0_ks[x t( )] [^k0 x t( )]^k1[x^(m)( )t ]^km  k₀0 k_s0

^km1 ^km2 ^kr

  x t dt( ) _ _  x t dt( ) ²_ _  _r x t dt( ) ^r _ 

[y t( )]kr1[y t( )]kr2 [y( )n ( )t ]kr n 2 

^kr n 3 ^kr n 4 ^ks

  y t dt( ) _ _ y t dt( ) ²_ _ _s y t dt( ) ^s _ ,

а C_k0_ks – коефіцієнти полінома, які є сталими величинами, оскільки поліном є стаціонарним оператором.

Сформульоване твердження, яке справджується для будь-якого скінченного значення N , є необхідною математичною основою для визначення моделей нелінійних рекурсивних систем у формі неявних операторів, побудованих у вигляді багатовимірних апроксимаційних поліномів, аргументами яких є часові залежності вхідних та вихідних сигналів схем, їх похідних та інтегралів. Такі моделі описують зв’язок між миттєвими значеннями вхідних і вихідних сигналів систем x t( )_i та y t( )_i при t_i  [t₀, ]T .

Значення коефіцієнтів багатовимірного полінома знаходяться шляхом розв’язання задачі мінімізації його нев’язки. В результаті отримується аналогова математична модель нелінійної схеми такого вигляду:

K₀ Ks

 C_k0_ks[x t( )] [^k0 x t( )]^k1 [x^(m)( )t ]^km  k₀0 k_s0

^km1 ^km2 ^kr

  x t dt( ) _ _ x t dt( ) ²_ _ _r x t dt( ) ^r _ 

[y t( )]kr1[y t( )]kr2[y( )n ( )t ]kr n 2 

kr n 3 ^kr n 4 ^ks

  y t dt( ) _ _ y t dt( ) ²_ _ s y t dt( ) ^s _  0. (3.20)

Оскільки невідомі y t( ) входять до рівняння (3.19) неявно, воно може мати більше одного розв’язку. В результаті у моделі (3.20), визначеній на інтервалі часу t_i  [t₀, ]T і справедливій для множин сигналів {X_N ( )t }, {Y_N ( )t }, одній дії x t( )  {X_N ( )t } може відповідати не одна, а набір реакцій y_i ( )t {Y_N ( )t }, i  1,2,,z , які будуть зумовлюватись різними початковими, логічними умовами тощо. Для вибору одного розв’язку з їх множини застосуємо процедуру зведення неявного рівняння до рівняння у явній формі такого ж порядку, як і неявне рівняння. У результаті такого зведення опис (3.19) набуде форми системи незалежних рівнянь

y^{( )}_j ⁿ ( )t  _j _x t( ),x( )t ,, x ^{(m )}( )t ,  x t dt( ) ,  x t dt( ) ², ,  _r x t dt( ) ^r ,

y t( ),y t( ),, y^{(n 1)}( )t ,  y t dt( ) ,  y t dt( ) ², ,  s y t dt( ) ^s_ , j  1,k . (3.21)

При цьому кожне з рівнянь (3.21) буде частковим випадком опису (3.19).

Відомо, однак, що інтегро-диференціальні рівняння можна зводити до еквівалентних диференціальних рівнянь. Розглянемо можливість такого зведення для рівняння (3.19). Для цього введемо наступні заміни:

v(t)   x(t)dt^r , w(t)   y(t)dt^s. (3.22)

r s

З урахуванням замін (3.22) вираз (3.19) можна представити у вигляді еквівалентного диференціального рівняння відносно старшого інтегралу від w(t):

 (p) (q) 

 v(t).v'(t),, v (t),w(t), w'(t),, w (t)  0 , (3.23)

де p=m+r+1; q=s+n+1. Оскільки представлення (3.30) при перепозначеннях v(t)  x(t),w(t)  y(t) збігається з описом (3.9), принципи побудови математичних моделей у вигляді неявних алгебро-диференціальних рівнянь можна застосовувати і для випадку моделі (3.30), якщо в якості її аргументів розглядати не лише вхідні, вихідні сигнали схеми та їх похідні, але й інтеграли від таких сигналів. Зведення інтегро-диференціальних до еквівалентних диференціальних рівнянь є ефективним засобом використання моделей у формі інтегро-диференціальних рівнянь. Відмітимо, що при постановці задачі Коші для отримання розв'язків рівняння (3.30) необхідно задавати відповідні початкові умови: w^i(0) e_i , i  0,1,,q 1.

Отже, принципи побудови математичних моделей у формі алгебродиференціальних рівнянь дозволяють також конструювати математичні моделі систем у вигляді інтегро-диференційних рівнянь.

8.ОПисати математичне моделювання у вигляді дискретних рівнянь.

На практиці для вхідних дій x(t) та вихідних реакцій системи y(t) їх аналітичні вирази можуть бути невідомими, тому такі сигнали можуть задаватись множинами дискретних часових точок. Крім цього, при реалізації процедури побудови математичних моделей на ЕОМ та для розв'язання задач створення цифрових систем формуються дискретні моделі у вигляді різницевих схем. Позначимо дискретні значення дій x(t) та рекцій схеми y(t), визначені у певних рівновіддалених часових точках t _k =kh, де k – номер дискрети, h- крок дискретизації по часу, через x(k) та y(k) відповідно. Не порушуючи загальності, вважатимемо, що змінна k приймає лише цілочисельні значення 0,1,2,... Тоді за допомогою існуючих методів від опису (3.9) з певною похибкою можна перейти до її дискретного аналогу - різницевого рівняння виду:

x(k),x(k),,^px(k), yk,y(k),,^ry(k) 0, (3.24)

де x(k),x(k),,^px(k),y(k),,^r y(k) - скінченні різниці відповідного порядку. Дискретний аналог математичної моделі (3.14) можна подати у вигляді:

K0 Kp Kp1 Kr

  Ek₀ k_pk_p1k_r 

k₀ _{0 kp} _{0 kp1} _{0 kr} ₀ (3.25)

x(k)^k0 ^px(k)^kp y(k)^kp1 ^ry(k)^kr  0,

який може бути представлений у формі системи різницевих рівнянь виду:

y(k  1)  y(k)  hy(k);

 ₂

y(k  1)  y(k)  h y(k);



^ ^{r 2} y(k  1)   ^{r 2} y(k )  h ^{r 1}y(k); (3.26) _

 K 0 K p K p1 K r

    Ek ₀ k _p k _p1 k _r 

k ₀ 0 k _p 0k _p1 0 k _r 0

 x(k)^k 0  ^p x(k)k p y(k)k p1  r y(k)k r  0,

_

де принаймні один з коефіцієнтів E_k0_kpk_p1_kr  1, а значення y(k) у загальному випадку отримуються в результаті застосування неявної різницевої схеми. Для оцінки точності дискретної моделі обчислюватимемо максимальне відхилення вихідних сигналів дискретної моделі від відповідних вихідних сигналів схеми

^*  maxy(k)  y_m(k) , (3.27)

kK

де K - множина дискрет, а також середньоквадратичну похибку відтворення дискретною моделлю перетворення "вхід-вихід" схеми

^* 1 K ²

  ^yk y_m k . (3.28)

_K k1