Якими шляхами здійснюється визначення структури та параметрів функції?

Математичні моделі у вигляді алгебро-диференційних рівнянь Визначення структури та (або) параметрів функції F[...] може здійснюватись шляхом формулювання та розв’язання задачі мінімізації нев’язки шуканої математичної моделі у певній нормі аналітично, чисельно аналітичними або чисельними методами). Розглянемо принципи побудови математичних моделей за допомогою чисельних методів. Чисельноаналітичні та аналітичні методи визначення математичних моделей будуть розглянуті в наступних розділах. Відомо, що для побудови моделі у загальному випадку недостатньо наявності будь-якої скінченної кількості сигналів. Однак, якщо оператор схеми є неперервним, вхідні сигнали x(t) утворюють компактну замкнену множину, тоді модель схеми може бути побудована за допомогою скінченної кількості тестових сигналів. Нехай для сигналів x(t), y(t) існує модель, яка трансформує миттєві значення дій x(t _i ) у відповідні миттєві значення реакцій y(t _i ) з похибкою, яка не перевищує значення  (3.3). Знайдемо структуру та параметри такої моделі, якою можна апроксимувати функцію F[...] і за допомогою якої з множини X _N (t) у множину Y _N (t) можна трансформувати часові функції, що містять свої миттєві значення. Для цього сформулюємо наступну лему.

Лема 3.1. Нехай схема описується рівнянням виду (3.9), локально неперервним у замкненій області  зміни аргументів F[...]. Нехай також задано аналітичні вирази для сигналів x(t)X_N (t), y(t)Y_N (t), де X_N (t), Y_N (t) - компактні множини сигналів. Тоді для сигналів x(t),y(t) та значення >0 існує такий багатовимірний поліном L[...] скінченного степеня (k₀ +...+

+k_m+k_m1+...+k s )<, що буде виконуватись нерівність

L , (3.11)

при обмеженні (3.3) для будь-яких агументів F[...] з області їх зміни  , де

K0 Km Km1 Ks

L C_k0_kmk_m1_ks x(t)^{k0 }x^m(t)^km y(t)^{km1 }y^n(t)^ks , (3.12)

k₀ 0 k_m0k_m10 k_s 0

s=m+n+2, C_k0_kmk_m1_ks - коефіцієнти поліному, які є дійсними постійними величинами, оскільки багатовимірний поліном (3.12) - стаціонарний K0 Km Km1 Ks

^{оператор,} ^^C_k0_kmk_m1_ks  0, тобто тривіальний розв’язок, при

k₀0 k_m0k_m10 k_s0

якому всі коефіцієнти дорівнюють нулю, виключається. Крім цього, хоча б

один з коефіцієнтів C_k0_kmk_m1_ks  1.

Доведення. Зробимо в (3.9) наступну заміну змінних:

z1  x(t),z2  x'(t),,zm1  xm(t),zm2  y(t),zm3  y'(t),,zmn2  yn(t) .

З урахуванням зроблених замін рівняння (3.9) може бути подано у вигляді:

Fz Fz₁,z₂,...,z_mn2  0 .

Функція F є локально неперервною у замкненій області  зміни своїх аргументів. Аргументи функції F утворюють компактну множину сигналів, тому згідно з теоремою Стоуна-Вейєрштрасса для випадку векторних аргументів z існує така послідовність многочленів L_s , що

lim L_s(z)  F(z)

s  

рівномірно в області  . Оскільки функція F є дійсною, многочлени L_s можна вибрати також дійсними. Виберемо в якості наближувального многочлен скінченного степеня L(z) (3.12). Оскільки згідно з умовою леми 3.1 принаймні один з коефіцієнтів многочлена (3.12) C_k0_kmk_m1_ks  1, система базових апроксимуючих степеневих функцій є лінійно незалежною. Тому при достатньо великих s на основі теореми Стоуна-Вейєрштрасса буде справджуватись нерівність

L_sz ,

де  0, при обмеженні (3.3) для будь-яких агументів F[...] з області  . Лему

доведено. ■

Лема 3.1 є основою для визначення математичних моделей у вигляді багатовимірних степеневих поліномів, аргументами яких є часові залежності дій, реакцій схем та їх похідних. Моделі, які описують зв'язок між миттєвими значеннями дій x(t _i ) та реакцій схем y(t _i ) при t _i T, можуть визначатись чисельними, чисельно-аналітичними або аналітичними методами. Оскільки многочлен (3.12) є лінійною функцією відносно своїх коефіцієнтів, для знаходження моделі необхідно сформувати та розв'язати відповідну систему лінійних нерівностей відносно C. Запишемо таку систему у вигляді:

K0 Km Km! Ks

Ck0kmkm!ks x(ti )k0 xm(ti )km y(ti )km1 yn(ti )ks  , (3.13)

k₀0 k_m0k_m10 k_s0 i  1,k ,

де k - кількість часових точок. Система нерівностей (3.13), сформована для точок t_i , є перевизначеною, тобто кількість миттєвих точок сигналів x(t), y(t), перевищує кількість шуканих коефіцієнтів С багатовимірного поліному L[...]. При необхідності отримання мінімальних значень похибок , задача побудови моделі зводиться до мінімізації нев’язки багатовимірного апроксимаційного поліному. Мінімізація лінійної форми, якою є поліном, при наявності обмежень (3.3) та

K0 Km Km1 Ks

^^C_k0_kmk_m1_ks  0 є задачею лінійного програмування, для

k₀0 k_m0k_m10 k_s0

розв'язання якої існують добре розроблені методи, алгоритми та програми. В результаті розв’язання задачі апроксимації (3.11) отримується аналогова модель схеми, яку можна подати у вигляді:

K0 Km Km1 Ks

Ck0kmkm1ks x(t)k0 xm(t)km y(t)km! yn(t)ks  0, (3.14)

k₀0 k_m0k_m10 k_s0

де значення y(t) у загальному випадку визначаються в результаті розв'язання рівняння (3.14) чисельними методами. Модель (3.14) може бути представлена у формі наступної системи алгебро-диференціальних рівнянь першого порядку:

 x'(t)  x₁(t);

 



 x^m (t)  x_m (t);



 y'(t)  y¹(t); (3.15)

_

 

^ yⁿ (t)  y_n (t);

 K0 Km Km1 Ks

 Ck0kmkm1ks x(t)k0 xm (t)km y(t)km1 yn (t)ks  0.

k₀0 k_m0k_m10 k_s0

Оскільки невідомі y^n(t) входять до рівняння (3.14) неявно, такі рівняння можуть мати більше одного розв'язку. Тобто, у моделі (3.14), визначеній на інтервалі часу t[0;T] і справедливій для множин сигналів X _N (t) та Y _N (t), одній дії x(t)X _N (t) може відповідати не одна, а набір реакцій y_i

(t) Y _N (t) _i, i=1,2,...,. Для забезпечення однозначності розв’язків (3.14) по відношенню до y(t), тобто для вибору одного розв'язку з їх множини, зведемо таке рівняння до явної форми. У загальому випадку диференціальне рівняння (3.14) зводиться до наступних  незалежних рівнянь у явній формі, розв’язаних по відношенню до старшої похідної:

y^n _ix, x',,x^m, y, y',, y^n1,i  1,, (3.16)

де _i - алгебраїчна або трансцендентна функція своїх аргументів, причому

z_i _ix,x',,x^m, y, y',, y^n1,i  1, є розв’язками рівняння

K0 Km Km! Ks

Ck0kmkm1ks x(t)k0 xm(t)km y(t)km! zks  0. Таке зведення

k₀0 k_m0k_m10 k_s0

можливе в околі деякої точки ,,, ,,, якщо

K0 Km Km1 Ks

 Ck0kmkm1ks k0 ,,km ,km1 ,,ks  0

k0 0 km 0 km1 0 ks

K0 Km Km1 Ks

та  Ck0kmkm1ks k0 ,,km ,km1 ,,ks z  0. При цьому кожне з

k₀ 0 k_m 0 k_m1 0 k_s 0

рівнянь (3.16) буде частковим випадком рівняння (3.14).