3. Довірча імовірність та довірчий інтервал.

Зручність оцінки похибок вимірювань за допомогою середньоквадратичної похибки полягає в тому, що  є параметром нормального закону розподілу. Використовуючи цей закон можна вирахувати довірчу імовірність.

Довірчою імовірністю (коефіцієнтом надійності) Р називається ймовірність того, що похибка окремого результату вимірювань по абсолютній величині не перевищує деякого значення А, тобто А-А  х_i А+А.

Вона визначається за допомогою інтегралу

((6)

Результати обчислення довірчої імовірності Р за формулою (6) наведені в табл.1. В цій таблиці для довільного А, вираженого в долях  , тобто для , вказані значення імовірності Р.

Табл.1

	P		P
0	0	1.1	0.73
0.1	0.08	1.2	0.77
0.2	0.16	1.3	0.80
0.3	0.24	1.4	0.84
0.4	0.31	1.5	0.87
0.5	0.38	1.6	0.89
0.6	0.45	1.7	0.91
0.7	0.51	1.8	0.93
0.8	0.57	1.9	0.94
0.9	0.63	2.0	0.95
1.0	0.68	3.0	0.997

Як видно з таблиці, імовірність того, що результат окремого вимірювання відрізняється від істинного значення не більше ніж на А=, тобто =1, рівна 0,68. Це значить, що 68% випадкових похибок менші за , а 32% будуть більші за  . При А = 2 , тобто =2, довірча імовірність рівна Р=0,95, а це значить що вже 95% випадкових похибок будуть менші за 2.

На практиці важливіше знати на скільки може відрізнятись від істинного значення А не результат окремого вимірювання х_і, а середнє арифметичне ряду вимірювань х_ср, тобто треба знати імовірність того, що

А-А х_ср А+А.

Похибка середнього арифметичного вимірюваної величини менша за похибку кожного окремого вимірювання. Середньоквадратична похибка середнього арифметичного вимірювань даної фізичної величини пов`язана із середньоквадратичною похибкою окремого вимірювання співвідношенням

(7)

Довірчу імовірність похибки середнього арифметичного значення вимірюваної величини можна також знайти по табл.1, якщо замість  взяти S:

(8)

Інтервал значень вимірюваної величини А-Ах_срА+А називається довірчим інтервалом.

4. Коефіцієнти Стьюдента.

Наведені вище формули із використанням середньоквадратичної похибки  справедлививі тільки при великому числі вимірювань n . При невеликому числі вимірювань (n30) можна визначити тільки наближену величину _n . Якщо при обчисленнях за формулами (6), (7), (8) замість середньоквадратичної похибки  використовувати наближену величину _n, то отримаємо невірні (завищені) значення довірчої імовірності Р.

Врахувати різницю між  та _n можна за допомогою визначених Стьюдентом (В.С.Госсет) коефіцієнтів

(9)

Вони грають ту ж роль, що і , тільки визначаються при невеликому числі вимірювань.

Математичний апарат статистики дозволяє обчислити ці коефіцієнти для довільних значень числа вимірювань n та довірчої імовірності Р. Користуючись коефіцієнтами Стьюдента можна правильно визначити величину довірчого інтервалу при заданому коефіцієнті надійності і невеликому числі спостережень n досліджуваної фізичної величини. Коефіцієнти Стьюдента для різних значень n та Р наведені в табл.2.

Табл.2.

n/Р	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.95	0.99
2	0.16	0.33	0.51	0.73	1.00	1.38	2.0	3.1	6.3	12.7	63.7
3	0.14	0.29	0.45	0.62	0.82	1.06	1.3	1.9	2.9	4.3	9.9
4	0.14	0.28	0.42	0.58	0.77	0.98	1.3	1.6	2.4	3.2	5.8
5	0.13	0.27	0.41	0.57	0.74	0.94	1.2	1.5	2.1	2.8	4.6
6	0.13	0.27	0.41	0.56	0.73	0.92	1.2	1.5	2.0	2.6	4.0
7	0.13	0.27	0.40	0.55	0.72	0.90	1.1	1.4	1.9	2.4	3.7
8	0.13	0.26	0.40	0.55	0.71	0.90	1.1	1.4	1.9	2.4	3.5
9	0.13	0.26	0.40	0.54	0.71	0.90	1.1	1.4	1.9	2.3	3.4
10	0.13	0.26	0.40	0.54	0.70	0.88	1.1	1.4	1.8	2.3	3.3
11	0.13	0.26	0.40	0.54	0.70	0.88	1.1	1.4	1.8	2.2	3.2
12	0.13	0.26	0.40	0.54	0.70	0.87	1.1	1.4	1.8	2.2	3.1
13	0.13	0.26	0.40	0.54	0.70	0.87	1.1	1.4	1.8	2.2	3.1
14	0.13	0.26	0.39	0.54	0.69	0.87	1.1	1.4	1.8	2.2	3.0
15	0.13	0.26	0.39	0.54	0.69	0.87	1.1	1.3	1.8	2.1	3.0
16	0.13	0.26	0.39	0.54	0.69	0.87	1.1	1.3	1.8	2.1	2.9
17	0.13	0.26	0.39	0.54	0.69	0.86	1.1	1.3	1.7	2.1	2.9
18	0.13	0.26	0.39	0.53	0.69	0.86	1.1	1.3	1.7	2.1	2.9
19	0.13	0.26	0.39	0.53	0.69	0.86	1.1	1.3	1.7	2.1	2.9
20	0.13	0.26	0.39	0.53	0.69	0.86	1.1	1.3	1.7	2.1	2.9

5.Послідовність статистичної обробки результатів прямих вимірювань.

Викладене вище дозволяє зробити важливий висновок: для характеристики величини випадкової похибки необхідно задавати два числа - величину самої похибки (або довірчий інтервал) та величину довірчої імовірності.

При обробці результатів прямих вимірювань необхідно:

1) Із результатів ряду n вимірювань знайти середнє арифметичне:

2) Обчислити наближену середньоквадратичну похибку окремого вимірювання

3) Задатись коефіцієнтом надійності (задає викладач, частіше всього Р=0,95).

4) За відомими n та Р по таблиці 2 знайти коефіцієнт Стьюдента t_p,n

5) Визначити довірчий інтервал

6) Записати результат в інтервальній формі, вказавши поруч коефіцієнт надійності.

х_срА, Р

Покажемо на прикладі, як здійснити оцінку похибки фізичної величини, одержаної в результаті прямого вимірювання.

Нехай в результаті чотирьох вимірювань маси m одержали такі значення

2,80 кг; 2,79 кг; 2,84 кг; 2,83 кг.

Знайдемо їх середнє арифметичне значення

m_ср = (2,80+2,79+2,84+2,83)/4 = 2,82 кг.

Середня квадратична похибка окремого вимірюваннякг.

Задамо довірчу імовірність Р = 0,95. По таблиці 2 знаходимо значення коефіцієнта Стьюдента при n = 4 та Р=0,95: t_р,n=3,2.

Довірчий інтервал визначимо із співвідношення m=.

m=3,20,012=0,04 кг.

Кінцевий результат запишемо у вигляді

m=(2,82 0,04) кг; Р=0,95.

6.Похибки непрямих вимірювань.

При непрямих вимірюваннях досліджувана величина y визначається як деяка функція інших величин х₁, х₂ ... х_m , які знаходяться шляхом прямих вимірювань у = f(х₁, х₂ ... х_m). Оскільки кожна із величин х_і виміряна із відповідною їй випадковою похибкою х_і, то величина у також буде виміряна із деякою похибкою у.

Відомо, що повний диференціал функції визначається за формулою

(10)

При малих значеннях диференціалу аргумента dх (або приростах аргумента х) приріст функції у приблизно рівний її диференціалу dy:

(11)

Якщо у виразі (11) прирости змінних аргументів замінити їх середніми абсолютними похибками, а частинні похідні обчислити за середніми арифметичними значеннями цих величин і взяти по модулю, то отримаємо вираз для знаходження середньої абсолютної похибки досліджуваної величини у:

(12)

Середньоквадратична похибка результату непрямого вимірювання визначається за формулою:

(13)

де - наближені значення середньоквадратичних похибок окремих вимірювань величин х₁ ... х_m.

Послідовність обробки результатів непрямих вимірювань така:

1. Провести всі прямі вимірювання величин х_і (і=1 ... m), що входять в робочу формулу не менше ніж n=5 разів.

2. Обчислити їх середні арифметичні значення:

;

Знайдені середні значення записати в таблицю.

3. Обчислити наближені середньоквадратичні похибки всіх прямих вимірювань

;

4. Знайти частинні похідні та обчислити їх за середніми значеннями величини аргументів.

5. За формулою (13) обчислити наближене значення середньоквадратичної похибки непрямого вимірювання _ny .

6. Обчислити середнє значення вимірюваної величини

у_ср= f(х_1ср, х_2ср,...,х_mср)

7. Задатись коефіцієнтом надійності Р. По таблиці коефіцієнтів Стьюдента знайти відповідний даному значенню Р та числу вимірів n коефіцієнт t_р,n.

Визначити величину довірчого інтервалу

8. Кінцевий результат записати в інтервальній формі та вказати довірчу імовірність

у_сру , Р.

Можна провести оцінку похибки окремих вимірювань величини у=f(x₁, x₂, ... x_m) іншим способом, який простіший за перший, але математично менш строгий.

За другим способом послідовність обробки результатів непрямих вимірювань така:

1. Проводять прямі вимірювання кожної незалежної змінної, що входить в робочу формулу n разів. Для кожної з них одержують ряд значень:

2. Визначають значення досліджуваної величини для кожної серії вимірювань:

3. Знаходять середнє арифметичне досліджуваної величини

4. Cередню квадратичну похибку _nу та довірчий інтервал у обчислюють так, як у випадку прямих вимірювань величини.

Розглянемо на прикладі, як оцінити похибку непрямих вимірювань.

Робоча формула для обчислення моменту інерції маятника у лабораторній роботі №104

де m - маса підвішеного тягарця;

r - радіус шківа;

t - час, протягом якого тягарець проходить шлях h;

g=9,81 м /с² - прискорення вільного падіння.

В результаті п`яти вимірювань радіуса шківа r та часу t були одержані такі значення:

r, мм 41,1; 41,4; 41,5; 41,3; 41,6.

t, c 2,72; 2,67; 2,80; 2,75; 2,73.

При повторних вимірюваннях шляху h було одержане одне і те ж значення h=410 мм, тому похибка вимірювання цієї величини була визначена як точність шкали приладу h=0,5 мм. Маса тягарця m не вимірювалась, а була задана m=0,130 кг із похибкою m=0,005 кг.

І спосіб.

Знайдемо середні значення величин, що входять у робочу формулу

Обчислимо середні квадратичні похибки цих величин

Знайдемо середнє значення моменту інерції. (Обчислення виконаємо в СІ).

кгм².

Знайдемо та обчислимо частинні похідні:

Обчислимо середньоквадратичну похибку результату вимірювання моменту інерції

Із табл. 2 для Р=0,95 та n=5 знайдемо значення коефіцієнта Стьюдента

3,2.

Обчислимо довірчий інтервал

Кінцевий результат запишемо у вигляді:

J=(0,01950,0012) кгм² ; Р=0,95.

ІІ спосіб.

Обчислимо значення моменту інерції для кожного із п`яти вимірювань

Знайдемо середнє арифметичне значення моменту інерції

Обчислимо середню квадратичну похибку вимірювання моменту інерції

Визначимо довірчий інтервал

Запишемо результат у вигляді:

J=(0,01960,0007) кгм² ; Р=0,95.

Оскільки значення похибок непрямих вимірювань, що були отримані як математично строгим, так і спрощеним методами відрізняються мало, то це дає підстави при виконанні лабораторних робіт для спрощення розрахунків та економії часу при обробці результатів непрямих вимірювань користуватись більш простим ІІ способом, тобто обробку результатів проводити як для прямих вимірювань з використанням понять довірчого інтервала і довірчої імовірності.