Похибки вимірювань

Основою фізики, як і всіх природничих наук, є спостереження та експерименти, які можна охарактеризувати числами, що є результатами вимірювань.

Під вимірюванням довільної фізичної величини розуміють таку операцію, в результаті якої визначають, у скільки разів вимірювана величина більша чи менша за однорідну величину, прийняту за одиницю.

Всі існуючі методи вимірювання можна розділити на прямі та непрямі.

Під прямими вимірюваннями розуміють такі, при яких вимірювана величина знаходиться безпосередньо при порівнянні її з одиницею вимірювання приладом, проградуйованим в даних одиницях (наприклад, при вимірюванні довжини лінійкою або температури за допомогою термометра).

Непрямими вимірюваннями називаються такі, при яких одержують не саму величину, а додаткові значення, які знаходяться в відомій математичній залежності із досліджуваною фізичною величиною. Остання розраховується після підстановки результатів прямих вимірів у цю математичну формулу. Непрямі вимірювання застосовуються тоді, коли досліджувану величину безпосередньо виміряти або неможливо, або дуже складно.

Будь яке вимірювання неможливо виконати абсолютно точно. Числа, які ми отримуємо в результаті вимірювань дають нам не істинне значення вимірюваної величини, а лише наближене. Кількісною мірою точності вимірювання є похибка вимірювань. Під похибкою вимірювання розуміють різницю між виміряним та дійсним (істинним) значенням величини.

Причин виникнення похибок дуже багато: недосконалість приладів, наших органів відчуття, вплив зовнішніх факторів (поштовхи, зміна температури, вологості, електричні та магнітні поля і т.п.), зміна самого вимірюваного об`єкта, неповнота теоретичної моделі, наближений характер методу, округлення при відліках та розрахунках і т.п.

По характеру виникнення похибки поділяють на три види: систематичні, випадкові та грубі (промахи).

Систематичні похибки пов`язані із дією незмінних факторів. Вони обумовлені: а) похибкою вибраного методу вимірювання, в якому не враховані деякі фактори, що впливають на результат. (Наприклад, якщо при вимірюванні довжини тіла не враховується її залежність від температури і т.п.); б) інструментальними похибками, що обумовлені недосконалістю, несправністю та неправильним встановленням вимірювальних приладів (наприклад, зміщенням нуля шкали приладу). Систематичні похибки можна виявити та звести до мінімума вдосконаленням методу вимірювань та заміною вимірювального приладу.

Випадкові похибки являються наслідком дії факторів, які неможливо врахувати. Таких факторів багато і їх дія неоднакова в різних дослідах. Їх причинами можуть бути неточність відліку по шкалі приладу, недосконалість наших реакцій та органів відчуття, нестабільність умов спостереження. Правила визначення випадкових похибок визначаються в теорії похибок, що базується на математичній статистиці та теорії ймовірності і дозволяє по результатам вимірювань вирахувати найбільш імовірне значення досліджуваної величини та оцінити його похибку вимірювання. Для зменшення впливу випадкових похибок фізичне вимірювання необхідно проводити не один, а декілька разів при однакових умовах досліду.

Під грубими похибками або промахами розуміють ті похибки, величини яких різко виходять за межі і сильно спотворюють результати вимірювань. Причинами виникнення грубих похибок можуть бути: неправильний відлік по шкалі приладу, неправильне застосування приладу, помилки в запису результатів вимірювань і т.п. Грубі похибки мають бути виявленими у контрольних вимірах і обов`язково ліквідованими.

Похибки при вимірюваннях є неминучими. Тому беззмістовним є намагання отримати абсолютно точний результат. Задача експериментатора при вимірюваннях полягає в тому, щоб:

1) виміряти значення досліджуваної величини з якнайменшою похибкою;

2) оцінити цю похибку;

3) правильно округлити результат.

Отже результат вимірювання повинен включати в себе як значення вимірюваної величини, так і її похибку.

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК

1. Розподіл випадкових похибок вимірювань.

Нехай при n-кратному прямому вимірюванні деякої фізичної величини А дістанемо серію чисел

х₁, х₂ ... х_n ,

кожне з яких відрізняється від істинного значенння вимірюваної величини на величину похибки вимірювань. Вважатимемо, що систематичні похибки враховано, а результати при прямих вимірюваннях, проведених при одних і тих же умовах, одержані лише з випадковими похибками. Результати можна наглядно представити, побудувавши діаграму, яка показує, як часто отримуються ті чи інші значення в серії спостережень. Таку діаграму називають гістограмою і будують таким чином.

Нехай всі значення серії вимірювань фізичної величини х₁ ... х_n знаходяться між деяким мінімальним х_min та максимальним х_max значеннями. Розіб`ємо проміжок [x_min, x_max] осі абсцис на деяке число k інтервалів шириною х і побудуємо на цих інтервалах прямокутники висотою n_i/n , де n_i - число результатів серії, що потрапляють в і-тий інтервал. Отримаємо гістограму, зображену на рис.1. Якщо число спостережень n прямує до нескінченості, а ширина інтервалу х прямує до нуля, то гістограма наближається до плавної кривої f(x) , яка є густиною імовірності розподілу результатів вимірювань (рис.1).

Існують різні види функцій розподілу випадкових величин. Результати фізичних вимірювань та їх похибки найчастіше підлягають нормальному закону розподілу - закону Гауса. Цей закон виводиться в математичній статистиці і може бути застосованим при виконанні таких умов:

1. Похибки вимірювань приймають неперервний ряд значень.

2. При великому числі спостережень однаково часто зустрічаються похибки одного значення, але різних знаків.

3. Частота появи похибки зменшується із збільшенням величини похибки.

Нормальна функція розподілу результатів вимірювань має вигляд

f(x)=

(1)

де А - істинне значення вимірюваної величини;  - середньоквадратична похибка окремого вимірювання (див.нижче). Аналогічний вигляд має функція розподілу випадкових похибок вимірювань

(1а)

де х=х - А.

Знаючи закон розподілу випадкової похибки можна провести імовірностну оцінку похибки вимірювань.

2. Середні значення та їх обчислення.

Серед n значень вимірювань фізичної величини х₁, х₂,...х_n найбільш імовірним, тобто найближчим до істинного буде середнє арифметичне значення цієї величини х_ср

(2)

Величина х_i=х_ср-х_i називається абсолютною похибкою вимірювання. Середнє арифметичне значення абсолютних похибок окремих вимірювань називається середньою арифметичною похибкою:

(3)

Якість результатів вимірювань характеризують відношенням середньої арифметичної похибки до середнього арифметричного значення вимірюваної величини. Це відношення називають відносною похибкою

(4)

Для оцінки величини середньоквадратичної похибки окремого вимірю-вання користуються формулою

(5)

Якщо число вимірювань велике, то _n прямує до деякого сталого значення

Величина  називається середньоквадратичною похибкою окремого вимірювання.