Teoretichna_mekhanika_24_12_12

З рівностей (3.7) для визначення закону руху точки потрібно знати початкові умови її руху.

Початковий стан руху матеріальної точки визначається її положенням та її швидкістю в початковий момент часу (t 0).

Якщо точка рухається в декартовій системі координат, то необхідно знати її координати і проекції швидкості на осі координат у початковий момент руху:

Сукупність отриманих даних – початкові умови руху матеріальної точки.

Для визначення сталих інтегрування надаємо рівнянням (3.7) значення t 0 і, взявши необхідні за часом, отримуємо шість рівнянь

Звідси сталі інтегрування визначаються

c1 f1(x0 ,y0 ,z0 ,x0 ,y0 ,z0 );

диференціальних рівнянь руху точки.

91

3.6 Окремі випадки руху матеріальної точки 1. Вільний рух точки в однорідному полі сил тяжіння біля

поверхні Землі

Точка М масою m рухається в однорідному полі сил тяжіння під дією тільки однієї сили тяжіння P.

За обраної системи відліку диференціальні рівняння руху т. М записуються:

Сталі інтегрування с1, с2,…с6 визначаються з початкових умов руху точки М.

2. Прямолінійний рух матеріальної точки під дією сили, що

змінюється з часом.

92

Для прямолінійного руху точки необхідно, щоб вектор сили був паралельним вектору початкової швидкості точки.

Диференціальне рівняння руху точки має вигляд

mx Fx (t)

де с1 і с2 – сталі інтегрування, що визначається з початкових умов руху матеріальної точки.

3.Прямолінійний рух матеріальної точки під дією сили, що

залежить від положення точки

F F(r)

Диференціальне рівняння руху точки:

mx Fx (x)

с1 і с2 визначаються з початкових умов руху точки.

93

4. Прямолінійний рух матеріальної точки під дією сили, що залежить від швидкості точки F( ) .

Диференціальне рівняння руху точки

mx Fx (x);

dt

x (t)dt c2.

с1 і с2 визначаються з початкових умов руху матеріальної точки.

3.7 Динаміка системи матеріальної точки (механічної системи) Динаміка механічної системи

Механічною системою або системою матеріальних точок називається сукупність матеріальних точок, положення і рух яких взаємозв’язані.

1.Вільна механічна система

Система матеріальних точок називається вільною, якщо в будь-який момент часу всі точки системи можуть займати довільні положення в системі відліку і можуть мати довільні швидкості.

Сили, з якими матеріальні точки даної системи взаємодіють з матеріальними точками або тілами, що не належать до даної системи, називаються зовнішніми силами.

Сили взаємодії між матеріальними точками однієї механічної системи називаються внутрішніми.

Fe – зовнішні сили; Fi – внутрішні сили.

94

На підставі третього закону Ньютона, геометрична сума сил взаємодії між двома точками даної системи, наприклад, точками М1 і М2 дорівнює

k 1

Геометрична сума усіх внутрішніх сил системи (головний вектор внутрішніх сил) дорівнює нулю.

Геометрична сума моментів сил F1i і F2i і відносно довільної точки М. З рисунка

M0 F1i M0 F2i 0; – обидві сили мають однакові плечі відносно т. О і протилежно напрямлені.

Геометричний момент внутрішніх сил M10 відносно довільної т. О буде складатися з геометричної суми таких моментів

Головний момент внутрішніх сил (геометрична сума моментів всіх внутрішніх сил системи відносно довільної точки) дорівнює нулю.

2.Невільна механічна система.

Механічна система, або система матеріальних точок називається невільною, якщо внаслідок будь-яких обмежень (умов) точки системи, не можуть займати довільні положення в системі відліку і мати довільні швидкості.

Умови, що забезпечують зазначені обмеження на рух точок системи, називаються в’язями.

Матеріальні точки М1 і М2 з’єднані жорстким невагомим стержнем. Аналітично в’язі записуються у вигляді рівнянь або нерівностей

(рівнянь в’язей)

x1, y1, z1 – координати точок М1 і М2;

95

Тоді

m1 dr12 F1e F1i dt

m2 dr22 F2e F2i dt

mn d2r2n Fne Fni

dt

диференціальні рівняння руху вільної механічної системи у векторній формі.

в) невільна механічна система складається з n матеріальних точок і рухається відносно інерціальної системи відліку.

Застосувавши аксіому про звільнення від в’язей шляхом заміни їх відповідними реакціями і розглядаючи кожну точку системи як вільну, що

рухається під дією сил F і R замінимо рівняння руху k-ї точки

mk d2r2k Fk Rk dt

Приймаючи до уваги, що система сили дається з n матеріальних точок, запишемо

m1 dr12 F1 R1 dt

m2 dr22 F2 R2 dt

mn d2r2n Fn Rn dt

диференціальні рівняння руху невільної механічної системи у векторній формі.

Якщо спроеціювати векторні системи на осі нерухомої декартової системи координат, то здобудемо систему з 3 n скалярних диференціальних рівнянь руху вільної і невільної механічної системи.

3.8 Дві задачі динаміки механічної системи

1.Пряма задача вільної механічної системи – за кінематичними рівняннями руху точок механічної системи і їх масою, визначити рівнодійні сили, що діють на точки системи.

2.Обернена (основна) задача динаміки вільної механічної системи – за силами, що діють на точки механічної системи (зовнішні і внутрішні), масами і початковими умовами їх руху, визначити закони руху усіх точок системи.

97

3.Пряма задача невільної механічної системи – за кінематичними рівняннями руху точок механічної системи, їх масами і активними силами, що прикладені до точок системи визначити рівнодійні реакцій в’язей, що накладені на точки системи.

4.Обернена (основна) задача динаміки невільної механічної системи – за активними силами, що діють на точки системи, рівняннями накладених в’язей, початковими умовами руху точок і їх масою, визначити закон руху кожної точки системи і реакції накладених в’язей.

3.9 Відносний рух матеріальної точки

1. Диференціальне рівняння відносного руху матеріальної точки.

Якщо матеріальна точка здійснює рух відносно системи відліку, яка в свою чергу рухається відносно нерухомої (інерціальної), то рух точки називається складним.

Складний рух точки.

Розглянемо дві системи відліку. Перша система відліку визначається декартовою системою координат Oxyz і розглядається як нерухома. Друга система відліку визначається декартовою системою координат O1x1 y1z1 і

здійснює довільний рух відносно нерухомої системи відліку Oxyz.

ra – радіус-вектор т. М в її абсолютному русі; rr – радіус-вектор т. М відносно руху4

re – радіус-вектор т. М переносного руху.

Рух точки відносно нерухомої системи координат називається абсолютним рухом точки.

Рух точки відносно рухомої системи координат називається відносним рухом точки.

98

Рух рухомої системи координат та всіх незмінно зв’язаних з нею точок відносно нерухомої системи називається переносним рухом.

3.10 Теорема про додавання швидкостей в складному русі точки.

Вектор абсолютної швидкості a при складному русі точки дорівнює векторній сумі векторів відносної r і переносної e

швидкостей точки.

З рис. випливає очевидна рівність

ra re rr

Диференціюючи рівність за часом, маємо dra dre drr dt dt dt

Тобто

a e r

3.11 Теорема про додавання прискорень в складному русі точки (теорема Коріоліса)

Вектор абсолютного прискорення точки в складному русі дорівнює геометричній сумі векторів переносного, відносного і коріолісового прискорень точки

Wa We Wr Wk

Прискорення Коріоліса визначається векторним додаванням

Wk 2 e r ,

e – вектор кутової швидкості переносного руху;

r – вектор відносної швидкості точки.

Величина Коріолісового прискорення визначається

Wk 2 e r sin We, ˆr ;

Фізичний зміст прискорення Коріоліса

99