5.9. Заміна радикалів новими невідомими
Основним способом розв’язування складних ірраціональних рівнянь є заміна кожного радикала новим невідомим. Це дає змогу звести ірраціональне рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Позначивши
,
,
дістанемо систему алгебраїчних рівнянь
Передусім
виключаємо невідоме
:
Звідси
знаходимо розв’язки
,
,
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Позначимо радикали:
Рівняння зводиться до системи рівнянь:
Насамперед
виключаємо невідоме
:
.
Дістанемо рівняння
,
яке розкладається на множники:
.
Розв’язуємо рівняння:
Корінь
не задовольняє рівняння.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Уводимо позначення:
Рівняння зводиться до системи рівнянь
Розкладаємо перше рівняння на множники:
.
Розв’язуємо рівняння:
1)
;
2)
,
.
5.10. Уведення параметра
Ірраціональні рівняння так само, як алгебраїчні, можна розв’язувати ввведенням допоміжного параметра [2], що значно спрощує розв’язування.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Запишемо рівняння у вигляді
.
Заміна
зводить рівняння до вигляду
.
Уводимо
параметр
,
вважаючи
.
Дістанемо ірраціональне рівняння з параметром:
,
.
Маємо
квадратне рівняння відносно
:
.
Знаходимо розв’язки:
,
.
Для
відшукання
розв’язуємо такі рівняння:
,
,
;
,
,
.
Звідси
знаходимо значення
:
,
,
,
.
Корені
,
— сторонні.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Уводимо параметр
.
Дістаємо рівняння
,
.
Звільняючись від ірраціональності, маємо:
,
,
.
Підставляючи
значення
,
дістаємо:
,
,
;
,
,
.
Задовольняють
рівняння лише корені
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Знаходимо ОДЗ:
Підносимо обидві частини рівняння до квадрата:
;
;
;
,
,
,
.
Корінь
не входить в ОДЗ. Якщо
,
то
.
Знайдемо значення
,
при яких маємо корінь
.
Підставимо
у вихідне рівняння
;
,
;
.
Остаточно
маємо:
при
;
при
.
5.11. Рівняння з модулями
Рівняння з модулями близькі до ірраціональних рівнянь, оскільки
.
(1)
Звичайно використовують означення модуля х:
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Згідно з умовою
дістаємо рівняння
.
Якщо
,
то
,
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Знайдемо точки, в яких модулі перетворюються на нуль:
,
;
,
.
Ці точки розбивають числову вісь на частини, в кожній з яких вирази під знаком модуля мають один і той самий знак.
1)
;
,
;
2)
;
,
— маємо тотожності;
3)
;
,
.
Остаточно
дістаємо
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Знайдемо
точки, де
,
,
.
Розглянемо всі можливі випадки:
1)
,
,
;
2)
;
,
;
3)
;
,
.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь
-
Розглянемо всі можливі випадки.
1)
,
:
.
Знайшли розв’язок системи.
2)
,
:
.
Розв’язок не задовольняє умову.
3)
,
.
Розв’язок не задовольняє умову.
4)
,
.
Знайшли розв’язок системи.
З формули (1) випливають правила внесення (винесення) множників під знак радикала:
.
(2)
Якщо
множник
вноситься під радикал, то знак множника
залишається поза радикалом.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Помножимо обидві частини рівняння на
,
.
.
Розглянемо можливі випадки.
1.
.
Вносимо додатний множник під знак
радикала:
,
,
,
,
.
;
,
.
Корінь
не задовольняє умові. Остаточно маємо
.
2.
.
Вносимо від’ємний множник під знак
радикала за формулою (2):
,
,
,
,
.
,
,
.
Корінь
не задовольняє умову. Остаточно маємо:
.
5.12. Системи ірраціональних рівнянь
Системи двох ірраціональних рівнянь дуже різноманітні, і тому важко знайти загальні способи їх розв’язування. Зазвичай намагаються виключити одне невідоме й дістати одне рівняння з одним невідомим.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь
-
Позначимо
,
,
,
.
Із системи рівнянь знаходимо
1)
,
,
,
;
2)
,
,
,
.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь
-
Позначивши
,
,
дістанемо систему рівнянь:
Розв’язуємо системи рівнянь:
1)
;
2)
.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь
-
Підносимо обидві частини кожного рівняння до квадрата:
.
Розв’язуємо рівняння:
,
,
,
,
,
,
.
1. Як знаходять ОДЗ?
2. Як розв’язати рівняння з кубічними ірраціональностями?
3. У чому полягає заміна радикалів новими невідомими?
4. Як розв’язати рівняння з модулями?
5. Як розв’язати однорідне рівняння?
Розв’язати рівняння на ОДЗ (1—6). Відповідь
1.
. –
6
2.
.
3.
. 4
4.
. 1
5.
. 3
6.
.
Піднесення обох частин рівняння до квадрата (7—11)
7.
. –
1
8.
. 
9.
. 
10.
. 
11.
. 3
Метод заміни (12—26)
12.
. 7
13.
. 
14.
. 5
15.
. 1;
4
16.
.
17.
. 
18.
. –
1
19.
. –
7; 2
20.
. 1
21.
. –6;
3
22.
. 1
23.
. 2
24.
. 27
25.
. 2;
3
26.
. 4
Виділення повного квадрата (27—35)
27.
. 
28.
. –2;
0
29.
.
30.
. 
31.
. 5
32.
. 
33.
. 
34.
. 
35.
. 2
Множення на спряжений вираз (36—40)
36.
. 
37.
. 
38.
.
39.
. 
40.
. 4
Розв’язати різні ірраціональні рівняння (41—75)
41.
. –
1
42.
. 
43.
. –
2; –1; 2
44.
. 1;
2; 3
45.
. 6
46.
. 
47.
. 
48.
. 
49.
. 5
50.
. 
51.
. 3
52.
. 1
53.
. 2;
9
54.
. 2
55.
. 7;
38
56.
. 
57.
. 7
58.
. 
59.
. 
60.
. 
61.
. –
2; – 4
62.
. 
63.
. 1
64.
.
65.
.
66.
. 31
67.
. 81
68.
. 0;
7
69.
. –
3,2; 3
70.
. –
1
71.
. –
1; – 3
72.
. 3;
– 24; – 88
73.
. 1;
2; 10
74.
. 8
75.
. 3
Розв’язати систему рівнянь (76—90)
76.
. 
77.
. 
78.
. 6;
10; 10; 6
79.
. 1;
4; 4; 1
80.
. 1;
8; 8; 1
81.
. 
82.
. 5;
3
83.
. 5;
4
84.
. 0;
0
85.
. 1;
1; 1
86.
. 5;
3; 5; 4
87.
. 
88.
. –
4; 5; 3
89.
. 4;
1; 1; 4; – 4; – 1; – 1; – 4
90.
. 11;
1