9.9. Тригонометричні нерівності

Всі тригонометричні нерівності зводяться до одного з наступних нерівностей.

І. .

Рис. 9.7.

З рис. 9.7 знаходимо розв’язок

. (7)

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Вважаючи отримаємо квадратну нерівність

.

Розв’яжемо нерівність

.

ІІ.

З рис. 9.7. знаходимо розв’язок

. (8)

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Думаючи , отримаємо квадратну нерівність

.

Розв’яжемо нерівності

1) ;

2) .

ІІІ. .

Рис. 9.8

З рис. 9.8 знаходимо розв’язок нерівності

(9)

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Покладемо і розв’яжемо нерівність

.

Розв’яжемо нерівності

1) ;

2) .

IV. . З рис. 9.8 знаходимо розв’язок

(10)

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Позначивши , приходимо до нерівності

.

Розв’яжемо нерівності

1) ;

2) .

.

IV.

Рис. 9.9

З рис. 9.9 знаходимо розв’язок нерівності

. (11)

Аналогічно розв’язується нерівність

. (12)

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Покладемо . Отримаємо нерівність

.

Розв’яжемо нерівності:

.

V.

Рис. 9.10

Нерівність має розв’язок

(13)

Аналогічно нерівність має розв’язок

(13)

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Думаючи отримаємо.

Розв’яжемо нерівність,

.

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Позначаючи , отримаємо нерівність

.

Розв’яжемо нерівність:

1) ;

2) .

9.10. Алгебраїчні нерівності

Приведемо деякі невідомі нерівності

1. Нерівність Коші:

. (15)

2. Нерівність Гельдера при

. (16)

3. (17)

Приведемо приклади розв’язку нерівностей.

Приклад. Довести нерівність

.

Якщо , то нерівність виконується. Якщо, то зведемо нерівність до квадратів

,

. Нерівність виконано.

Приклад. Довести, що для будь-якого трикутника із сторонами виконується нерівність

.

Оскільки дві частини нерівностей позитивні, то зведемо нерівність в квадрат

.

Оскільки , то нерівність виконано.

Приклад. Доказати нерівність

.

Помножимо нерівність на 2. Отримаємо нерівність

,

які очевидно виконуються.

Приклад. Довести, що при будь-яких додатних значеннях а і b має місце нерівність

.

Зведемо нерівність в квадрат

,

,

.

При тотожних перетвореннях нерівностей отримали здійснені нерівності, що доказує справедливість нерівності.

Приклад. Довести, що , якщо.

Покладемо і розглянемо функцію. Щоб знайти мінімум функціїзнаходимо похідну

.

З рівняння знаходимо.

Отже ,,.

Якщо , то.

Приклад. Довести нерівність

.

Розкриваючи дужки, отримаємо нерівність

,

,

.

При тотожних перетвореннях отримаємо очевидно виконану нерівність.

Питання для самоперевірки

1. Приведіть властивості нерівностей.

2. Як розв’язується квадратні нерівності?

3. В чому перебуває метод інтервалів?

4. Як розв’язуються ірраціональні нерівності?

5. Розв’язок показових нерівностей.

6. Розв’язок логарифмічних нерівностей.

7. Розв’язок тригонометричних нерівностей.

Вправи для самостійного розв’язування

Розв’язати нерівність

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

Довести нерівність

50. , якщо— сторони трикутника.

51. , якщо— сторони трикутника.

52. , деє площа трикутника із сторонами.

53. , деє площа трикутника із сторонами.

54. , де— висоти, опущені відповідно на сторони;— є радіус вписаного в трикутник кола.

55. ,;— радіус описаного кола трикутника,— радіус вписаного кола трикутника.

56. , де— радіус вписаного кола,— висоти, приведені на сторони.

57. , де— медіани, проведені на сторони.

25