9.5. Ірраціональні нерівності

Як правило, ірраціональні нерівності зводяться до одного з наступних нерівностей

(4)

Нерівність (4) виконано в одному з двох випадків

.

Нерівність

(5)

виконано, якщо виконані нерівності

Приклад.Розв’яжемо рівняння

.

Маємо нерівність вигляду (4). Розв’яжемо системи нерівностей

.

Остаточно знаходимо розв’язок .

Приклад. Розв’яжемо ірраціональну нерівність

.

Маємо нерівність вигляду (5).

.

Приклад.Розв’яжемо нерівність

.

Потрібно окремо розв’язати нерівність і рівняння

.

Остаточно отримаємо розв’язок .

Приклад.Розв’яжемо нерівність

.

Розв’яжемо окремо нерівність і рівняння

.

Остаточно отримаємо розв’язок .

Кожна ірраціональна нерівність можна розв’язати методом інтервалів. Для цього заміняють нерівність рівністю, розв’язують рівняння і знаходять ОДЗ. Точки, відповідні розв’язкам розбивають ОДЗ на частини. Якщо в одній точці частини виконано нерівність, то воно виконано в усіх точках частини. Якщо в одній точці частини нерівності не виконано, то воно не виконується в усіх точках частини.

Приклад. Розв’яжемо нерівність методом інтервалів

. (6)

Знаходимо ОДЗ з нерівності

ОДЗ: . Замість нерівності розв’яжемо рівняння

.

Наносимо точки на числову вісь

Рис. 9.4.

1. Підставляємо точку із інтервалув нерівність. Отримаємо нерівність, які не виконуються. Тому нерівність (6) не виконується в усіх точках інтервалу.

2. Підставимо точку із інтервалу. Отримаємо здійсненну нерівність. Отже, нерівність (6) виконано на інтервалі.

3. Візьмемо точку із інтервалу. Отримаємо невиконану нерівність. Отже, нерівність (6) не виконано ні в одній точці інтервалу.

Розв’язок нерівності (6) .

9.6. Показові нерівності

Показові нерівності приводять до нерівності вигляду

(7)

Якщо , то.

Якщо , то.

Приклад. Розв’яжемо показові нерівності

.

Перейдемо до основи 3

.

. Розв’яжемо нерівності методом інтервалів і находимо розв’язок .

Приклад. Розв’яжемо показові нерівності

.

Запишемо нерівність у вигляді

.

Поділимо нерівність на і отримаємо

.

Позначимо , отримаємо нерівність

, .

1) .

2) . Відповідь.

9.7. Логарифмічні нерівності

Логарифмічні нерівності зводяться до нерівності вигляду

(8)

1. Якщо , то.

2. Якщо , то.

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Запишемо нерівність у вигляді (8)

і знаходимо розв’язок .

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Запишемо нерівність у вигляді

.

Звідси знаходимо ,

, .

Найбільш складними являються логарифмічні нерівності, коли основи логарифмів залежать від х.

(9)

Приходимо до двох систем нерівностей

1. , 2..

Загальний розв’язок яких утворить розв’язок нерівності (9).

Приклад. Розв’яжемо нерівність

.

Розв’яжемо систему нерівностей

1. 2..

Остаточна відповідь .

Приклад. Розв’яжемо логарифмічну нерівність

.

Запишемо нерівність у вигляді (9)

і розглянемо можливі випадки

1. 2..

Побудуємо графік функції .

При отримаємо нерівність

, .

При отримаємо нерівність

, ,.

При отримаємо нерівність

, ;.

Розв’язок нерівності .

9.8. Система нерівностей

Нерівність вигляду розв’язується з допомогою побудови графіка рівняння.

Приклад. Знайти область існування функції

.

Величина існує, якщо виконана система нерівностей

.

Будуємо графіки рівнянь , і знаходимо область, де виконано дві нерівності. Якщо нерівність строго, то границя позначається пунктирами. (Рис. 9.5). Шукана область штрихується.

Рис. 9.5.

Приклад. Знайти область існування функції

.

Функція існує, якщо виконано нерівність

.

Область зображена на рис. 9.6.

Рис. 9.6.