duskretna_matematuka 3 курс / _ндив_дуальн_ завдання
.pdfМіністерство освіти і науки, молоді та спорту України України Полтавський національний педагогічний університет імені В.Г. Короленка Фізико-математичний факультет
Кафедра загальної фізики і математики
ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА Індивідуальні завдання
МОДУЛЬ А
(1 семестр)
для студентів ІІІ курсу напряму підготовки 6.040201 „Математика”
Розробники: Красницький М.П. Редчук К.С.
Полтава – 2012
2
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ МОДУЛЬ А
(рік навчання 3, семестр 1)
ЗАВДАННЯ № 1
Елементи теорії множин. Комбінаторний аналіз
Нижче подано масив задач до окремих тем змістових модулів “Елементи теорії множин”, “Комбінаторний аналіз”. Розв’яжіть задачі варіанту, визначеного для Вас викладачем.
Варіант |
|
|
Номери задач |
|
|
1 |
1.1 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
2 |
1.2 |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
3 |
1.3 |
2.3 |
3.3 |
4.3 |
5.3 |
4 |
1.4 |
2.4 |
3.4 |
4.4 |
5.4 |
5 |
1.5 |
2.5 |
3.5 |
4.5 |
5.5 |
6 |
1.6 |
2.6 |
3.6 |
4.6 |
5.6 |
7 |
1.7 |
2.7 |
3.7 |
4.7 |
5.7 |
8 |
1.8 |
2.8 |
3.8 |
4.8 |
5.8 |
9 |
1.9 |
2.9 |
3.9 |
4.9 |
5.9 |
10 |
1.10 |
2.10 |
3.10 |
4.10 |
5.10 |
11 |
1.11 |
2.11 |
3.11 |
4.11 |
5.11 |
12 |
1.12 |
2.12 |
3.12 |
4.12 |
5.12 |
13 |
1.13 |
2.13 |
3.13 |
4.13 |
5.13 |
14 |
1.14 |
2.14 |
3.14 |
4.14 |
5.14 |
15 |
1.15 |
2.15 |
3.15 |
4.15 |
5.15 |
16 |
1.16 |
2.16 |
3.16 |
4.16 |
5.16 |
17 |
1.17 |
2.17 |
3.17 |
4.17 |
5.17 |
18 |
1.18 |
2.18 |
3.18 |
4.18 |
5.18 |
19 |
1.19 |
2.19 |
3.19 |
4.19 |
5.19 |
20 |
1.20 |
2.20 |
3.20 |
4.20 |
5.20 |
21 |
1.21 |
2.21 |
3.21 |
4.21 |
5.21 |
22 |
1.22 |
2.22 |
3.22 |
4.22 |
5.22 |
23 |
1.23 |
2.23 |
3.23 |
4.1 |
5.23 |
24 |
1.1 |
2.24 |
3.1 |
4.9 |
5.2 |
25 |
1.8 |
2.25 |
3.8 |
4.17 |
5.9 |
26 |
1.15 |
2.1 |
3.15 |
4.3 |
5.16 |
27 |
1.22 |
2.6 |
3.22 |
4.11 |
5.22 |
28 |
1.3 |
2.11 |
3.6 |
4.19 |
5.6 |
29 |
1.10 |
2.16 |
3.13 |
4.5 |
5.13 |
30 |
1.17 |
2.21 |
3.20 |
4.13 |
5.20 |
3
1.Теорія множин
1.1.На одній з кафедр університету працюють 13 осіб, причому кожен з них знає принаймні одну іноземну мову. 10 осіб знають англійську мову, 7 – німецьку, 6 – французьку. 5 знають англійську і німецьку мову, 4 – англійську і французьку, 3 – німецьку і французьку.
а) Скільки осіб знають усі три мови?
б) Скільки осіб знають рівно дві мови?
в) Скільки осіб знають тільки англійську мову?
1.2. Протягом тижня, на якому проходив колоквіум з математичного аналізу, деканат проводив перевірку відвідування студентами групи М-3 занять з математичного аналізу, алгебри, програмування і дискретної математики. Виявилось, що 3 студенти пропускали математичний аналіз, 10 – алгебру, 11 – програмування і 15 – дискретну математику. Також виявилось, що 2 студенти пропускали заняття з усіх чотирьох предметів, 13 – принаймні з двох, і жоден студент не пропускав заняття рівно з трьох предметів. Скільки студентів не пропустило жодного заняття, якщо група складається з 25 студентів?
1.3.Під час екзаменаційної сесії з чотирьох екзаменів не менше 70 студентів успішно склали екзамен з дискретної математики, не менше 75 – з математичного аналізу, не менше 80 – з алгебри і не менше 85 – з програмування. Яка мінімальна кількість студентів, що склали одночасно всі чотири екзамени, якщо всього було 100 студентів?
1.4.У класі 30 учнів. Із них 15 відвідують математичний гурток, 20 — хімічний, 8 — математичний і хімічний, 7 — гурток з інформатики, 5 учнів відвідують усі три гуртки. Вкажіть скільки учнів не відвідує жодного гуртка.
1.5.Довести тотожність A B A B A.
1.6.Довести тотожність A B A B A.
1.7.Довести тотожність A B A B.
1.8.Довести тотожність A B C A B A C .
1.9.Довести тотожність A B C A B A C .
1.10.Довести тотожність A\ B A A B .
1.11.Довести тотожність A\ B C A C \ B C .
1.12.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={x (x – 2)2 2}, B={x x 0}.
4
1.13.Знайдіть А В, А В, А\В, якщо А={х | х2 – 1 >0}, В={х | –3х +3 <0}.
1.14.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={(x,y) x2+y2 16}, B={(x,y) x2+y2 9}.
1.15.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={(x,y) x2 y2 1}, B={(x,y)x2–y2 9}.
25 16
1.16.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={(x,y) x2 y2 1}, B={(x,y)x2+y2 9}.
25 16
1.17.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={(x,y)x2+y2 16}, А={(x,y) x2 y2 1},
25 16
1.18.Знайдіть А В, А В, А\В, якщо А = {х х + x – 2 0},
В= {х lg(5 – x) 0}.
1.19.Порівняти множини: А (В\С) і (А В)\С.
1.20.Порівняти множини: А\(В С) і (А\В)\С.
1.21.Порівняти множини: А (В\С) і (А В)\(А С).
1.22.Довести, що існують такі множини А, В і С, що А (В С) (А В) С.
1.23.Довести, що (А В) С=(А В) (В С).
2.Комбінаторні сполуки
2.1.На площині дано n точок, з яких t точок лежать на одній прямій; з решти точок ніякі три не лежать на одній прямій. Скільки прямих можна провести через ці точки? Скільки існує різних трикутників з вершинами в цих точках?
2.2.Скільки сигналів можна подати п'ятьма різними прапорцями, піднімаючи їх в будь-якій кількості і в довільному порядку?
2.3.Для відвідин театру куплено 2n квитків в один ряд партеру. Скількома способами можна розподілити ці квитки між n чоловіками і n жінками так, щоб два чоловіки або дві жінки не сиділи поряд.
2.4.Скільки можна утворити різних тризначних додатних цілих чисел в десятковій системі числення?
2.5.У суб'єкта А 5 червоних і 7 білих фішок, а у В – 7 червоних і 5 білих. А і B викладають по 6 фішок. Скількома способами можна у викладених 12 фішках отримати по 6 червоних і білих?
2.6.Є 5 різнокольорових фішок, які викидаються по 3 в ряд. Скільки існує різних комбінацій з трьох послідовно викладених фішок? Скільки буде комбінацій, якщо одна з фішок має вже певний (один з п'яти) колір?
5
2.7.Скількома способами можна розподілити уроки в шести класах між трьома вчителями, якщо кожен вчитель викладатиме в двох класах?
2.8.Скільки існує натуральних додатних чисел, які є квадратом, кубом або п’ятим степенем деякого натурального числа, і які менші 10000?
2.9.Довести, що кількість натуральних додатних чисел, які діляться на n і не перевищують x, дорівнює [x/n].
2.10.Знайти кількість натуральних чисел, які не перевищують 10000 і не діляться на жодне з чисел 2, 5, 7, але діляться на 11.
2.11. Нехай n = p1a1p2a2...prar – канонічний розклад натурального числа n (n 2) на прості множники. Знайти кількість усіх дільників числа n, які не діляться на квадрат жодного натурального числа, відмінного від 1.
2.12.Скільки існує n-значних натуральних чисел?
2.13.Скільки існує n-значних натуральних чисел (n 3), які діляться на 5 і в запису яких немає цифр 2, 4, 6 і 8?
2.14.Скільки існує n-значних натуральних чисел (n 3), у запису яких є рівно одна цифра 7 і хоча б одна цифра 8?
2.15.Скільки існує n-значних натуральних чисел (n 2), в запису яких є принаймні дві однакові цифри?
2.16.При перевертанні на 180 запису десяткових чисел цифри 0, 1 і 8 не змінюються, цифри 6 і 9 перетворюються одна в одну, а всі інші цифри втрачають смисл. Скільки існує n-значних чисел, які при перевертанні на
180 не втрачають смислу?
2.17.Скільки існує двійкових матриць розміру n m з попарно різними рядками?
2.18.Скільки існує двійкових векторів довжини n, k (k n) координат яких є фіксованими?
2.19.Скількома способами деканат може розподілити 75 студентів по трьох групах так, щоб у кожній групі було 25 студентів?
2.20.Скільки існує послідовностей з n нулів і m одиниць, у яких жодні дві одиниці не стоять поруч?
2.21.Скільки існує послідовностей з n нулів і m одиниць, у яких між кожними двома одиницями є принаймні два нулі?
2.22.Скількома способами 12 однакових куль можна розкласти по п ятьох різних пакетах, щоб жоден пакет не був порожнім?
2.23.У скількох точках перетинаються діагоналі опуклого n-кутника (n 4), якщо жодні три не перетинаються в одній точці.
6
2.24.На клітчастому папері зі стороною клітинки 1 см намальовано коло радіуса r см (r N), що не проходить через вершини клітинок і не дотикається їх сторін. Скільки клітинок перетинає це коло?
2.25.На прямій розташовано n, n 1, точок. Скількома способами їх можна розфарбувати в m, m 2, кольорів так, щоб сусідні точки мали різний колір?
3.Біном Ньютона
3.1.Обчислити :
3.2.Знайти коефіцієнт при х5 у многочлені
3.3.Знайдіть раціональні доданки в розкладі біному:
3.4.Знайдіть раціональні доданки в розкладі біному:
3.5.Знайдіть раціональні доданки в розкладі біному:
3 |
|
|
|
|
5 . |
||||
3 |
2 |
||||||||
3.6. У біноміальному розкладі 3 |
|
|
1 |
|
знайдіть доданок, який не містить а. |
||||
a2 |
|||||||||
a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3.7.Сума коефіцієнтів першого, другого й третього членів біноміального розкладу (а+b)n дорівнює 46. Знайдіть n.
3.8.Коефіцієнти другого, третього й четвертого членів біноміального розкладу (a b)n утворюють арифметичну прогресію. Визначити n.
3.9. Коефіцієнти четвертого й шостого членів біноміального розкладу (1 x)n 1 рівні між собою. Визначити п.
3.10.Довести, що сума коефіцієнтів у біноміальному розкладі(Зх – 2у)n при будь-якому п дорівнює 1.
3.11.У розкладі бінома 3x 2 n знайти член, що містить х4, якщо коефіцієнт третього члена дорівнює 90.
7
|
|
|
|
1 |
|
n |
|||
3 |
2 |
||||||||
3.12. Знайти показник степеня бінома |
|
|
|
|
, якщо відношення |
||||
|
|
|
|||||||
|
3 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
сьомого члена його розкладу від початку до сьомого члена від кінця дорівнює 0,1(6).
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
3.13. У розкладі бінома |
|
|
|
z |
коефіцієнт четвертого члена відноситься |
|
|
||||||
|
z |
|
|
|
|
до коефіцієнта шостого члена, як 5:18. Знайти в цьому розкладі доданок, що не залежить від z.
|
|
|
1 |
6 |
|
5 |
|
|
x |
|
|
||||||
3.14. Знайти х, якщо п'ятий член розкладу бінома |
|
|
дорівнює |
. |
||||
x |
||||||||
|
||||||||
|
|
|
|
9 |
|
3.15.У розкладі бінома a 4a 20 знайти доданок , що містить а7 .
3.16.Коефіцієнти п'ятого, шостого і сьомого членів розкладу бінома (1 + х)п утворюють арифметичну прогресію. Знайти п.
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
3.17. При якому значенні х третій доданок розкладу бінома |
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
4 x |
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дорівнює 240? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
||||
|
|
||||||
3.18. Який доданок розкладу бінома z |
z |
|
|
|
|
містить z5 , якщо сума |
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||
|
|
|
3 z |
|
біноміальних коефіцієнтів цього розкладу дорівнює 128?
3.19.Знайти х, у і z, якщо відомо, що другий, третій і четвертий члени розкладу (х + у)z відповідно дорівнюють 240, 720 і 1080.
3.20.Знайти найбільший член розкладу бінома 1 2 50 .
3.21.Коефіцієнти четвертого і шостого членів розкладу бінома (1+х)n+1 рівні між собою. Знайти п.
a |
|
3b n |
||||
3.22. Знайти показник бінома |
|
|
|
, якщо в його розкладі сума всіх |
||
4 |
5 |
|||||
|
|
|
|
показників степенів числа b дорівнює 36.
3.23. Сума біномінальних коефіцієнтів розкладу (1+х)n+(1+x)n+1 дорівнює 1536. Знайти коефіцієнт при х6.
8
4. Комбінаторні тотожності
n
4.1. Довести, що ( 1)k Cnk = ( 1)mCnm 11 для 1 m n.
km
4.2.Виходячи з комбінаторних міркувань довести, що
для 0 m < n.
|
2009 |
|
|
4.3. |
Знайти значення суми |
( 1)k (C2009k )2009 . |
|
|
k 0 |
|
|
|
m |
|
= (Cnm)2 для m n. |
4.4. |
Довести, що CnkCnm kkCnm mk |
||
|
k 0 |
|
|
|
|
n |
|
4.5. |
Довести, що n(n+1)n-1 = |
Cnkkk 1(n k 1)n k . |
k 1
n
4.6.Довести, що (-1)n n! = ( 1)k Cnkkn .
k 1
n
4.7.Обчислити суму ( 1)k (Cnk )2 .
k 0
nCnk
4.8.Обчислити суму k 2 .k 0
4.9.Обчислити суму
4.10.Обчислити суму
n
k2Cnk .
k0 n
(3k 2k )Cnk .
k 0
4.11.Довести тотожність:
4.12.Довести тотожність:
4.13.Довести тотожність:
4.14.Довести тотожність:
9
m m k mCn k 1 = Cn k 0
4.15.Довести тотожність:
4.16.Обчислити суму :
4.17.Обчислити суму :
4.18.Обчислити суму :
4.19.Довести тотожність:
4.20.Довести тотожність:
4.21.Довести тотожність:
4.22.Довести тотожність:
5.Рекурентні співвідношення
5.1.Знайти аналітичну формулу для обчислення суми
n
k3 .
k 1
5.2.Знайти послідовність (an)n N0 за рекурентним співвідношенням та початковими умовами an+3+3an+2-4an+1-12an = 0, a0 = 0, a1 = 10, a2 = 10
5.3.Знайти послідовність (an)n N0 за рекурентним співвідношенням та
початковими умовами: an+3-5an+2-2an+1+24an = 0, |
a0 = 13, a1 = 13, |
a2 = 115 |
|
10