duskretna_matematuka 3 курс / Робоча програма

СТРУКТУРА ПРОГРАМИ НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ “ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА”

2

Метою курсу «Дискретна математика» є вивчення студентами основ теорій і обґрунтованих ними методів дослідження дискретних властивостей об’єктів.

Курс повинен сформувати в студентів уміння і навички, пов’язані з:

теоретико-множинним підходом у моделюванні математичних структур, їх ситуативного прикладання до аналізу дискретних властивостей об’єктів реального світу;

особливостями дослідження комбінаторних властивостей об’єктів;

моделюванням об’єктів і процесів за допомогою графів та використанням графових моделей для їх оптимізації;

розв’язуванням прикладних логічних задач та задач економічного

змісту дискретними методами.

Курс включає такі розділи: елементи теорії множин, комбінаторний аналіз, теорія графів.

Прослухавши курс, студенти повинні:

знати:

означення операцій об’єднання, перетину, різниці й декартового добутку множин;

властивості операцій з множинами;

основні правила комбінаторики;

означення основних комбінаторних сполук та формули підрахунку їх кількостей;

означення біному Ньютона, поліноміальну формулу, властивості біному Ньютона та біноміальних коефіцієнтів;

основні методи доведення комбінаторних тотожностей;

суть методу рекурентних співвідношень та методу твірних функцій дослідження комбінаторних властивостей об'єктів;

означення основних понять теорії графів;

означення матриць суміжностей, інциденцій, циклів графа та їх властивості;

означення ізоморфних графів;

означення й ознаку дводольного графа, властивості дводольних графів;

означення дерева, властивості дерев;

теорему Келлі та теорему Кірхгофа про підрахунок дерев у графах;

означення плоского графа, ознаки планарності графів;

суть окремих класичних економічних задач оптимізації у теорії графів

та мати уявлення про методи їх розв'язування;

уміти:

виконувати операції з множинами, зображувати результат теоретикомножинних операцій за допомогою кругів Ейлера;

розв’язувати задачі на знаходження кількості комбінаторних сполук;

доводити комбінаторні тотожності;

3

застосовувати біном Ньютона та його властивості до доведення комбінаторних тотожностей, знаходження елементів числових послідовностей;

будувати графи, використовуючи конструктивні означення теорії графів;

застосовувати матриці суміжностей, інциденцій і циклів графа до дослідження його основних властивостей та встановлення ізоморфності графів;

доводити ознаки дводольності та планарності графів;

застосовувати ознаки дводольності та планарності графів, теорему Келлі та теорему Кірхгофа до розв’язування задач;

розв’язувати окремі типи шкільних логічних задач методами

дискретної математики.

Знання, навички й уміння, отримані студентами під час вивчення курсу, сприяють розвитку їх логічного мислення, просторової уяви, формуванню загальної математичної культури, необхідної для глибокого розуміння цілей і завдань як основного шкільного курсу математики, так і шкільних факультативних курсів, розширюють діапазон методів дослідження об’єктів і процесів, створюють передумови для творчого виконання майбутніми вчителями математики основних виробничих функцій.

4

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН

(рік навчання 3, семестр 1)

Тема 1.1. Елементи теорії множин

Множини, операції з множинами. Потужність множин, порівняння потужностей. Мультимножина. Бінарні відношення.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2

КОМБІНАТОРНИЙ АНАЛІЗ

(рік навчання 3, семестр 1)

Тема 2.1. Основні комбінаторні схеми та сполуки

Основні комбінаторні схеми. Правила суми та добутку. Формула включень та виключень. Розміщення, перестановки та комбінації без повторень. Розміщення, перестановки та комбінації з повтореннями.

Тема 2.2. Біном Ньютона

Біном Ньютона, поліноміальна формула. Біноміальні коефіцієнти та їх властивості. Комбінаторні тотожності.

Тема 2.3. Метод рекурентних співвідношень і метод твірних функцій

Рекурентні співвідношення. Числа Фібоначчі. Розв’язання лінійних рекурентних співвідношень. Твірні функції і їх застосування для розв’язування комбінаторних проблем.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 3

ТЕОРІЯ ГРАФІВ

(рік навчання 3, семестр 1)

Тема 3.1. Основні поняття теорії графів

Графи. Мультиграфи. Псевдографи. Орієнтовані й неорієнтовані графи. Найпростіші види графів: ланцюг, цикл, зірка. Повні графи, теореми про кількість ланцюгів і кількість циклів довжини n у повному графі. Шляхи в графах. Зв’язні та незв’язні графи. Степінь вершини графа. Регулярні графи. Ейлерові графи. Гамільтонові цикли в графах. Метричні співвідношення графів, центр, радіус, діаметр графа.

Тема 3.2. Матриці графів

Матриця суміжностей графа та її властивості. Матриця інциденцій та її властивості. Ізоморфізм графів. Операції з графами. Квазіцикли. Матриця циклів графа та її властивості.

5

Тема 3.3. Дводольні графи

Дводольні графи та їх властивості. Повні дводольні графи. Необхідна і достатня умова дводольності графа.

Тема 3.4. Дерева

Дерева та їх властивості. Дерево як дводольний граф. Теорема Келлі. Теорема Кірхгофа.

Тема 3.5. Плоскі (планарні) графи

Плоскі (планарні) графи. Зображення ребер плоского графа прямолінійними відрізками. Формула Ейлера. Необхідні й достатні умови планарності графа: теорема Ейлера, теорема Понтрягіна-Куратовського. Плоскі графи правильних многогранників.

Тема 3.6. Мережі

Мережі, потоки в мережах. Мережевий графік, побудова мережевого графіка.

6

ТЕМИ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

МОДУЛЬ А (рік навчання 3, семестр 1)

8

9

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

1.Індивідуальне завдання з тематики змістових модулів 1 – 2 (обов’язкове завдання).

2.Індивідуальне завдання з тематики змістового модуля 3 (обов’язкове завдання).

Тематика індивідуальних завдань охоплює всю навчальну програму із зазначених змістових модулів. Запропоновані студентам завдання мають на меті закріплення, поглиблення, систематизацію та узагальнення знань, які вони отримують у процесі навчання, а також застосування цих знань на практиці.

Кожен студент виконує індивідуальне завдання в окремому зошиті й захищає його перед викладачем.

МЕТОДИ НАВЧАННЯ: пояснювально-ілюстративний, репродуктивний, проблемного викладу, частково-пошуковий, дослідницький.

МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ: усний захист індивідуального навчальнодослідного завдання.

РОЗПОДІЛ БАЛІВ, ЯКІ ПРИСВОЮЮТЬСЯ СТУДЕНТАМ

МОДУЛЬ А (рік навчання 3, семестр 1)

МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ: нормативні документи, опорні конспекти лекцій, практикум, дидактичні матеріали, ілюстративні матеріали тощо.

10