Математична довідка

І. Факторіал натурального числа n – це добуток натуральних чисел від одиниці до n включно, позначається n!.

.

За означенням 0! = 1.

Зауваження. При великих n наближене значення факторіала можна обчислити за формулою Стірлінга, яка є наближенням для великих факторіалів та названа на честь Джеймса Стірлінґа. Формально, вона твердить, що

або

Факторіал n дорівнює кількості перестановок з n елементів.

0! = 1 1! = 1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2·3 = 6 4! = 1·2·3·4 = 24 5! = 1·2·3·4·5 = 120

6! = 1·2·3·4·5 ·6= 720

7! = 1·2·3·4·5 ·6·7= 5040

8! = 1·2·3·4·5 ·6·7·8= 40320

9! = 1·2·3·4·5 ·6·7·8·9= 362880

10! = 1·2·3·4·5 ·6·7·8·9·10= 3628800

ІІ. е —математична константа, основа натурального логарифма, ірраціональне і трансцедентне число. Інколи число e називають числом Ейлера або Неперовим числом. Воно грає важливу роль в диференціальному та інтегральному численні, а також багатьох інших розділах математики.

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 …

Число e може бути визначене декількома способами:

• Через границю:

(друга чудова границя).

• Як сума ряду:

• Як єдине число a, для якого виконується

• Як єдине додатне число a, для якого вірно

ІІІ. Функція

Якщо кожному значенню змінної х, що належить деякiй областi вiдповiдає одне певне значення другої змінної y, то y є функція від х, або в символічному записі, y = f(x), y = φ (x) i т.п.

х – називається незалежною змінною або аргументом.

Сукупність значень х, для котрих визначається значення функції y в силу правила f(x), називається областю визначення функції (або областю iснування функції).

Iнодi в означеннi функції допускають, що кожному значенню х, належному деякій області, вiдповiдає не одне, а декілька значень y. В цьому випадку функцію називають многозначною.

Властивості функції

1. Ммонотонність

Функція f(х) називається зростаючою, якщо для будь-яких 2-х точок х₁ i х₂ iз областi визначення f(х) таких, що f(х),f(х₁)>f(х₂)

Функція f(х) називається спадаючою, якщо для будь-яких 2-х точок х₁ і х₂ із області визначення f(х) таких , що f(х₁)< f(х₂)

Зростаючі, спадаючі, незростаючі, неспадаючі функції називаються монотонними.

2. Парність

Функція f(х) називається парною, якщо для будь-яких х із області визначення функції виконується рівність f(-х)= f(х) .

Графік парної функції симетричний відносно осі OY.

Функція f(х) називається непарною, якщо для будь-яких х із області визначення функції виконується рівність f(-х)= -f(х).

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

3. Періодичність

Функція f(х) називається періодичною з періодом Т, якщо для будь-яких х із її області визначення справедливе рівняння f(х) = f(х +Т).

Прикладом періодичних функцій є тригономертричні функції: sinx, cosx, tgx, ctgx.

Способи завдання функції

1. Табличний.

2. Аналітичний.

3. Графічний.

4. За допогою функціональної шкали.

IV. Правила диференціювання основних функцій

, де

Таблиця похідних

,