І рівень

1. Знайдіть невідомий член пропорції 0,(7) : х = 2,(3) : 0,(3).

2. Виконайте дії .

3. Знайдіть число на яке треба поділити 3848, щоб частка дорівнювала 160, а остача дорівнювала 8.

4. Знайдіть невідомий член пропорції 3,(3) : 2,25 = 0,(4) : х.

5. Знайдіть суму чисельника і знаменника дробу, який утворюється внаслідок скорочення дробу .

6. Спростіть вираз якщо .

7. Розкладіть многочлен 8a³ + 0,027 на множники і знайдіть їх суму.

8. Знайдіть суму чисельника і знаменника нескоротного дробу, який дорівнює дробу .

9. Винесіть множник з-під знака кореня , якщо n > m > 0.

10. Розкладіть многочлен m² – 3m – 4 на множники і знайдіть їх суму.

11. Спростіть вираз .

12. Знайдіть х + у, якщо х і у задовольняють систему рівнянь

13. Пряма проходить через точки А (1; –1) і В (9; –6). Знайдіть коефіцієнти і .

14. Розв’яжіть нерівність .

15. Знайдіть модуль різниці найбільшого і найменшого цілочислових розв’язків нерівності | 3х – 2 | < 4.

16. Знайдіть цілочислові розв’язки нерівності , що належать проміжку (–5; 5).

17. Розв’яжіть нерівність .

18. Знайдіть суму всіх цілочислових розв’язків нерівності .

19. Знайдіть цілочислові розв’язки нерівності на проміжку (5; 11).

20. Знайдіть суму натуральних чисел, які задовольняють нерівність | 5 – 3х | < 5.

21. Розв’яжіть нерівність .

22. Розв’яжіть нерівність .

23. Обчисліть середнє арифметичне натуральних чисел, які задовольняють нерівність .

24. Обчисліть середнє геометричне натуральних чисел, які задовольняють нерівність .

25. Знайдіть кількість цілочислових розв’язків нерівності .

26. Обчисліть значення функції у точці x = 6.

27. Знайдіть область визначення функції .

28. Знайти нулі функції y = (x²–7)·| x–2 |.

29. Знайдіть область визначення функції .

30. Знайти точку максимуму функції y = |5 – 2x| + 7.

31. Знайдіть вершину параболи y = x² – 5x + 1?

32. На якому проміжку функція y = |x | – 5 набуває від’ємних значень?

33. Знайдіть точку екстремуму функції y = – 4x² + 2x –7.

34. Для яких значень x функція набуває додатних значень?

35. Знайдіть область значень функції .

36. Обчисліть значення виразу .

37. Упорядкуйте числа a, b, c, якщо , , .

38. Визначте знаки sin , cos  і tg , якщо  = 1042º.

39. Обчисліть .

40. Визначте знаки sin , cos  і tg  , якщо .

41. Скільки спільних розв’язків мають рівняння і на проміжку (0; 2p) ?

42. Знайдіть усі розв’язки рівняння .

43. Знайдіть розв’язки рівняння , які належать проміжку (–2p ; 3p) ?

44. Знайдіть усі розв’язки рівняння .

45. Укажіть найбільший розв’язок рівняння , який належить проміжку (–90º; 90º).

46. Укажіть кількість нулів функції , які належать проміжку (–p; p).

47. Розв’яжіть нерівність .

48. Знайдіть х, якщо .

49. Розв’яжіть нерівність .

50. Знайдіть область визначення функції .

51. Знайдіть, при яких значеннях х функції і набувають рівних значень.

52. Розв’яжіть нерівність .

53. Знайдіть значення виразу , якщо х = 0,2 і у = 0,01.

54. Розв’яжіть нерівність .

55. Знайдіть, при яких значеннях х функції і набувають рівних значень.

56. Знайдіть область визначення функції .

57. Обчисліть перший член геометричної прогресії, якщо її третій член дорівнює  3, а четвертий дорівнює  15.

58. Послідовність задано рекурентно a₁ = 2, a_n+1 = 3a_n – 1. Чому дорівнює її четвертий член?

59. Знайдіть суму перших десяти членів геометричної прогресії (b_n), у якій b₁ = 5,  b₂ = .

60. Обчисліть перший член арифметичної прогресії, якщо її п’ятий член дорівнює  2, а шостий дорівнює  –1.

61. Обчисліть суму всіх натуральних чисел, що не перевищують 100 і поділяються на шість.

62. Знайдіть суму нескінченно спадної геометричної прогресії (b_n), якщо .

63. Обчисліть перший член геометричної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює  80, а п’ятий дорівнює  20.

64. Скільки від’ємних членів має арифметична прогресія –30; –28; –26; ...?

65. Знайдіть суму нескінченно спадної геометричної прогресії (b_n), у якій b₂ = 24,  b₃ = 8.

66. Обчисліть перший член арифметичної прогресії (a_n), якщо a₄ = 5, a₅ = 3.

67. Знайдіть суму перших десяти членів геометричної прогресії (b_n), якщо  ,  b₂ = 3.

68. Обчисліть другий член геометричної прогресії, якщо її четвертий і п’ятий члени дорівнюють  6 і  3 відповідно.

69. Обчисліть суму всіх натуральних чисел, що не перевищують 200 і кратні 13.

70. Знайдіть суму нескінченно спадної геометричної прогресії 24; 12; …

71. Обчисліть перший член геометричної прогресії, якщо її третій член дорівнює  15, а п’ятий дорівнює  3.

72. Скільки додатних членів має арифметична прогресія 20,5; 19,5; 18,5; ...?

73. Довести, що для будь-якого натурального n правильна рівність .

74. Довести, що для будь-якого натурального n правильна рівність .

75. Довести, що для будь-якого натурального n .

76. Доведіть, що для будь-якого натурального n правильна рівність: .

77. Довести, що для будь-якого натурального n .

78. Довести, що при будь-якому натуральному n ( ) поділяється на 64.

79. Довести, що для будь-якого натурального n .

80. Довести, що для будь-якого натурального n .