5. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с nпеременными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Рассмотрю нелинейную задачу распределения ресурсов между предприятиями отрасли. Предположу, что указано nпунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделеноbрублей. Обозначу черезf_j(x_j) прирост мощности или прибыли наj-том предприятии, если оно получитx_jрублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение (х₁, х₂, ..., х_n) капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

Z=f₁(x₁)+f₂(x₂)+...+f_n(x_n)

при ограничении по общей сумме капвложений х₁ + х₂ +...+х_n = b, причём буду считать, что все переменныеx_jпринимают только целые неотрицательные значенияx_j=0,1,2,...

Функции f_j(x_j) я считаю заданными, заметив, что их определение -довольно трудоёмкая экономическая задача.

Воспользуюсь методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введу параметр состояния и определю функцию состояния. За параметр состояния примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состоянияF_k() определим как максимальную прибыль на первыхkпредприятиях, если они вместе получатрублей. Параметрможет меняться от 0 доb. Если изрублейk-ое предприятие получит Х_крублей, то каково бы ни было это значение, остальные-Х_крублей естественно распределить между предприятиями от 1-го до (к-1)-го предприятия, чтобы была получена максимальная прибыльF_k-1(-x_k). Тогда прибыльkпредприятий будет равнаf_k(x_k) +F_k-1(-x_k). Надо выбрать такое значениеx_kмежду 0 и, чтобы эта сумма была максимальной, и я прихожу к рекуррентному соотношению:

F_k() =max{f_k(x_k) +F_k-1(-x_k)}

0 X

для k=2,3,....,n.Если жеk=1 ,то

F₁()=f₁().

В моем случае производственное объединение состоит из 4-х предприятий (k=4).Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. рублей (b=700) , выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей.

Значения функций f_j(x_j) приведены в таблице 1, где, например, число 29 означает, что если 3-е предприятие получит 600 тыс. руб. капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 29 тыс. руб.

Таблица 1

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	5	10	14	17	19	21	22
f2(xj)	0	8	13	18	21	23	21	17
f3(xj)	0	10	16	21	24	27	29	30
f4(xj)	0	11	19	26	30	33	35	36

Прежде всего заполняю таблицу 2. Значения f₂(x₂) складываю со значениямиF₁(-x₂)=f₁(-x₂) и на каждой северо-восточной диагонали нахожу наибольшее число, которое помечаю звёздочкой и указываю соответствующее значениеx₂(). Заполняю таблицу 3. Продолжая процесс, табулирую функцииF₃(),x₃() (см. табл.4 и 5) и т.д. В таблице 6 заполняю только одну диагональ для значения=700.

Таблица 2

-х2		0	100	200	300	400	500	600	700
X2	F(-x2) f2(x2)	0	5	10	14	17	19	21	22
0	0	0	5	10	14	17	19	21	22
100	8	8*	13*	18*	22	25	27	29	---
200	13	13*	18*	23*	27	30	32	---	---
300	18	18*	23*	28*	32*	35*	---	---	---
400	21	21	26	31	35*	---	---	---	---
500	23	23	28	33	---	---	---	---	---
600	21	21	26	---	---	---	---	---	---
700	17	17	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 3

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2()	0	8	13	18	23	28	32	35
x2()	0	100	100	100	200	300	300	300
x2() x2()	0 0	100 100	200	200 300	300	300 300	300 300	400

Таблица 4

-х3		0	100	200	300	400	500	600	700
Х3	F(-x3) f2(x3)	0	8	13	18	23	28	32	35
0	0	0	8	13	18	23	28	32	35
100	10	10*	18*	23	28	33	38	42	---
200	16	16	24*	29*	34*	39*	44*	---	---
300	21	21	29*	34*	39*	44*	---	---	---
400	24	24	32	37	42	---	---	---	---
500	27	27	35	40	---	---	---	---	---
600	29	29	37	---	---	---	---	---	---
700	30	30	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 5

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3()	0	10	18	24	29	34	39	44
X3()	0	100	100	200	200	200	200	200
X3()	0	100	100	200	300	300	300	300

Таблица 6

-х4		0	100	200	300	400	500	600	700
Х4	F(-x4) f2(x4)	0	10	18	24	29	34	39	44
0	0								44
100	11							50	---
200	19						53	---	---
300	26					55	---	---	---
400	30				54	---	---	---	---
500	33			51	---	---	---	---	---
600	35		45	---	---	---	---	---	---
700	36	36	---	---	---	---	---	---	---

Наибольшее число на этой диагонали:

Z_max = 55 тыс. руб.,

причем четвертому предприятию должно быть выделено

х₄* = х₄(700) = 300 тыс. руб.

На долю остальных трех предприятий остается 400 тыс. руб. Из Таблицы 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

х₃* = х₃(700 - х₄*) = х₃(400) = 200 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, нахожу

х₂* = х₂(700 - х₄* - х₃*) = х₂(200) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия останется

х₁* = 700 - х₄* - х₃* - х₂* = 100 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

х1* = 100;	Zmax = 55
х2* = 100;
х3* = 200;
х4* = 300

Этот план обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 55 тыс. руб. В качестве проверки правильности решения задачи можно использовать равенство

f₁(x*₁) + f₂(x*₂) + f₃(x*₃) + f₄(x*₄) = Z_max

f₁(100) + f₂(100) + f₃(200) + f₄(300) = 5 + 8 + 16 + 26 = 55 = Z_max

Следовательно, полученные решения верны.