4. Транспортная задача линейного программирования

Имеется 3 производителя однородной продукции, имеющие запасы этой продукции 90, 75 и 40 единицы соответственно. Также имеется 4 потребителя данной продукции. Их потребность составляет 48, 75, 41 и 32 единицы соответственно. Транспортная компания заключила контракт с поставщиками и потребителями на вывоз и поставку данной продукции от производителей к потребителям. При перевозке продукции от каждого производителя к каждому потребителю транспортная компания имеет определённые издержки на единицу продукции: 4 у.е. при перевозке от 1-ого производителя к 1-ому потребителю, 1 у.е. - от 1–ого производителя ко 2-ому потребителю, 3 у.е. – от 1-ого к 3-ему, 1 у.е. – от 1-ого к 4-ому, 4 у.е. – от 2-ого к 1-ому, 1 у.е. – от 2-ого ко 2-ому, 3 у.е. – от 2-ого к 3-ему, 2 у.е. – от 2-ого к 4-ому, 5 у.е. – от 3-его к 1-ому, 2 у.е. – от 3-его ко 2-ому, 3 у.е. – от 3-его к 3-ему, 5 у.е. – от 3-его к 4-ому. Так как естественным стремлением транспортной компании является максимизация прибыли, то требуется составить такой план перевозок, чтобы издержки были минимальными.

Можно записать эти издержки на единицу продукции в виде матрицы, где строка издержки при поставке от одного производителя к каждому потребителю, а столбец издержки при поставке к одному потребителю от каждого производителя:

4 1 3 1

C = 4 1 3 2

5 2 3 5

П редложение производителей и спрос потребителей можно записать в виде векторов А и B соответственно:

90 48

А = 75 и В = 75

40 41

32

Обозначу через x_ij количество груза, планируемого к перевозке от i - го поставщика j - му потребителю. При наличии баланса производства и потребления

математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так:

н айти план перевозок

X = (x_ij), i = 1,m; j = 1,n,

минимизирующий общую стоимость всех перевозок

при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт

и любому потребителю доставляется необходимое количество груза

п ричём по смыслу задачи

x₁₁ > 0,…, x_mn > 0

В моей задаче 4 потребителя и 3 поставщика, причём суммарный объем производства a_i = 90 + 75 + 40 = 205 больше, чем требуется всем потребителям b_i = 48 + 75 + 41 + 32 = 196, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую ввожу фиктивный пункт потребления с объемом потребления 205-196 = 9 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт я условлюсь считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу северо-западного угла:

Трансп.табл.1

Потребление	b1 =48	b2 =75	b3 =41	b4 =32	b5 =9
Производство
a1= 90	48 4	42 1	3	1	0	p1=0
a2= 75	4	33 1	41 3	1 2	0	p2=0
a3= 40	5	2	* 3	31 5	9 0	p3=3
	q1=4	q2=1	q3=3	q4=2	q5=-3

Следует иметь в виду, что по любой транспортной таблице можно восстановить соответствующий предпочитаемый эквивалент системы уравнений (3), (4), а в табл.1 записаны лишь правые части уравнений, причем номер клетки показывает, какая неизвестная в соответствующем уравнении является базисной. Так как в системе (3), (4) ровно m + n - 1 линейно независимых уравнений, то в любой транспортной таблице должно быть m + n - 1 занятых клеток.

Обозначим через  )

вектор симплексных множителей или потенциалов. Тогда

_ij = A_ij - с_ij i = 1,m; j = 1,n

о ткуда следует _ij = p_i + q_j - c_ij i = 1,m; j = 1,n (6)

Один из потенциалов можно выбрать произвольно, так как в системе (3), (4) одно уравнение линейно зависит от остальных. р₁ = 0. Остальные потенциалы нахожу из условия, что для базисных клеток . В данном случае получаем

₁₁ = 0, p₁ + q₁ - c₁₁ = 0, 0+q₁ –4 = 0, q₁ = 4

₁₂ = 0, p₁ + q₂ - c₁₂ = 0, 0+q₂ –1 = 0, q₂ = 1

₂₂ = 0, p₂ + q₂ – c₂₂ = 0, p₂+1 –1 = 0, p₂ = 0

₂₄ = 0, p₂ + q₄ – c₂₄ = 0, 0+q₄ –2 = 0, q₄ = 2

₂₃ = 0, p₂ + q₃ - c₂₃ = 0, 0 + q₃ – 3 = 0, q₃ = 3

₃₄ = 0, p₃ + q₄ – c₃₄ = 0, p₃+ 2 – 5 = 0, p₃ = 3

₃₅ = 0, p₃ + q₅ – c₃₅ = 0, 3 + q₅ – 0 = 0, р₂ = -3

Затем по формуле (6) вычисляю оценки всех свободных клеток:

₂₁ = p₂ + q₁ - c₂₁ = 0+4-4 = 0

₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ = 3+4-5 = 2

₃₂ = p₃ + q₂ - c₃₂ = 3+1-2 = 2

₁₃ = p₁ + q₃ – c₁₃ = 0+3-3 = 0

₁₄ = p₁ + q₄ – c₁₄ = 0+2-1 = 1

₃₃ = p₃ + q₃ – c₃₃ = 3+3-3 = 3

₁₅ = p₁ + q₅ – c₁₅ = 0-3-0 = -3

₂₅ = p₂ + q₅ – c₂₅ = 0-3-0 = -3

Нахожу наибольшую положительную оценку max ( ) = 3 = ₃₃

Для найденной свободной клетки 33 строю цикл пересчета - замкнутую ломаную линию, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы, одна из вершин находится в данной свободной клетке, а все остальные - в занятых клетках. Это будет 33-23-24-34. Произвожу перераспределение поставок вдоль цикла пересчета

41	1
*	3 1

41-	1+
	31-

10	32
31

= 31

Получаю второе базисное допустимое решение:

Трансп.табл.2

Потребление	b1 =48	b2 =75	b3 =41	b4 =32	b5 =9
Производство
a1= 90	48 4	42 1	3	* 1	0	p1=0
a2= 75	4	33 1	10 3	32 2	0	p2=0
a3= 40	5	2	31 3	5	9 0	p3=0
	q1=4	q2=1	q3=3	q4=2	q5=0

Нахожу новые потенциалы, новые оценки:

₁₁ = 0, p₁ + q₁ - c₁₁ = 0, 0+q₁ –4 = 0, q₁ = 4

₁₂ = 0, p₁ + q₂ - c₁₂ = 0, 0+q₂ –1 = 0, q₂ = 1

₂₂ = 0, p₂ + q₂ – c₂₂ = 0, p₂+1 –1 = 0, p₂ = 0

₂₄ = 0, p₂ + q₄ – c₂₄ = 0, 0+q₄ –2 = 0, q₄ = 2

₂₃ = 0, p₂ + q₃ - c₂₃ = 0, 0 + q₃ – 3 = 0, q₃ = 3

₃₃ = 0, p₃ + q₃ – c₃₃ = 0, p₃+ 3 – 3 = 0, p₃ = 0

₃₅ = 0, p₃ + q₅ – c₃₅ = 0, 0 + q₅ – 0 = 0, q₅ = 0

Затем по формуле (6) вычисляю оценки всех свободных клеток:

₂₁ = p₂ + q₁ - c₂₁ = 0+4-4 = 0

₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ = 0+4-5 = -1

₃₂ = p₃ + q₂ - c₃₂ = 0+1-2 = -1

₁₃ = p₁ + q₃ – c₁₃ = 0+3-3 = 0

₁₄ = p₁ + q₄ – c₁₄ = 0+2-1 = 1

₃₄ = p₃ + q₄ – c₃₄ = 0+2-5 = -3

₁₅ = p₁ + q₅ – c₁₅ = 0-0-0 = 0

₂₅ = p₂ + q₅ – c₂₅ = 0-0-0 = 0

Нахожу наибольшую положительную оценку max ( ) = 1 = ₁₄

Для найденной свободной клетки 14 строю цикл пересчета 14-12-22-24. Произвожу перераспределение поставок вдоль цикла пересчета

42			*
33	10		3 2

42-		
33+	10	32-

10		32
65	10

= 32

Получаю третье базисное допустимое решение:

Трансп.табл.3

Потребление	b1 =48	b2 =75	b3 =41	b4 =32	b5 =9
Производство
a1= 90	48 4	10 1	3	32 1	0	p1=0
a2= 75	4	65 1	10 3	2	0	p2=0
a3= 40	5	2	31 3	5	9 0	p3=0
	q1=4	q2=1	q3=3	q4=1	q5=0

Нахожу новые потенциалы, новые оценки:

₁₁ = 0, p₁ + q₁ - c₁₁ = 0, 0+q₁ –4 = 0, q₁ = 4

₁₂ = 0, p₁ + q₂ - c₁₂ = 0, 0+q₂ –1 = 0, q₂ = 1

₂₂ = 0, p₂ + q₂ – c₂₂ = 0, p₂+1 –1 = 0, p₂ = 0

₁₄ = 0, p₁ + q₄ – c₁₄ = 0, 0+q₄ –1 = 0, q₄ = 1

₂₃ = 0, p₂ + q₃ - c₂₃ = 0, 0 + q₃ – 3 = 0, q₃ = 3

₃₃ = 0, p₃ + q₃ – c₃₃ = 0, p₃+ 3 – 3 = 0, p₃ = 0

₃₅ = 0, p₃ + q₅ – c₃₅ = 0, 0 + q₅ – 0 = 0, q₅ = 0

Затем по формуле (6) вычисляю оценки всех свободных клеток:

₂₁ = p₂ + q₁ - c₂₁ = 0+4-4 = 0

₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ = 0+4-5 = -1

₃₂ = p₃ + q₂ - c₃₂ = 0+1-2 = -1

₁₃ = p₁ + q₃ – c₁₃ = 0+3-3 = 0

₂₄ = p₂ + q₄ – c₂₄ = 0+1-2 = -1

₃₄ = p₃ + q₄ – c₃₄ = 0+1-5 = -4

₁₅ = p₁ + q₅ – c₁₅ = 0-0-0 = 0

₂₅ = p₂ + q₅ – c₂₅ = 0-0-0 = 0

Я получила таблицу, для которой все

 _ij  0 i = 1,m; j = 1,n

Оценки удовлетворяют условию оптимальности, следовательно решение

48 10 0 32 0

X= 0 65 10 0 0

0 0 31 0 9 оптимально.

При этом 9 единиц продукции остаются у 3-го производителя.

Общая стоимость перевозок = 4*48+10*1+32*1+65*1+10*3+31*3= 422 ед.