Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный Университет Управления

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа по дисциплине «Прикладная математика»

Выполнила	Васильева Екатерина Игоревна
Институт	Бизнеса в Строительстве и Управления Проектом
Специальность	Менеджмент организации
Вариант	третий
Отделение	в/о
Курс	II
Группа	I
Руководитель	Багров А.П.
Дата сдачи на проверку
Дата защиты
Оценка
Подпись руководителя

Москва 2004 г.

Оглавление
	Стр.
1. Линейная производственная задача……………………………..……	2
2. Двойственная задача………………………………………………..….	10
3. Задача о «расшивке узких мест производства»…………………..….	13
4. Транспортная задача линейного программирования……………...... рования…………………………..	15
5. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений………………………………………………………..……………………………..	19
6. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества…….…	22
7. Матричная модель производственной программы предприятия……………………………………………………………………	26
8. Использованная литература…………………………………………... .……………………………………………..	28

1. Линейная производственная задача

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли.

Технологическая матрица A, в которой каждый элемент a_ij означает необходимое количество i-го ресурса для выпуска j-го вида продукции:

Вектор B объемов ресурсов, каждый элемент которого b_iозначает предельное количество i-го ресурса для выпуска всего объема продукции:

Вектор удельной прибыли C, элементы которого c_j означают прибыль от производства единицы продукции j-го вида:

С = ( 48 15 11 32 )

Количество каждого из товаров задаётся с помощью производственной программы:

, где

x₁, x₂, x₃, x₄ - кол-во 1-ой, 2-ой, 3-ей и 4-ой продукции соответственно.

Технологическая матрица затрат показывает какое количество ресурсов требуется для производства 1 единицы продукции. Каждому виду продукции соответствует столбец в технологической матрице затрат А. Каждая строка матрицы А соответствует одному из видов ресурсов. Чтобы получить расход каждого ресурса при заданной производственной программе перемножим матрицу А и вектор производственной программы X:

Каждый элемент полученного вектора равен расходу соответствующего ресурса при заданной производственной программе, т.е. при x₁, x₂, x₃, x₄. Так как матрица А указывает на необходимое количество определённого ресурса для производства 1 единицы продукции, то умножая это число на общее количество продукции данного вида я получаю расход данного ресурса для производства заданного количества определённого вида продукции. Сложив расход ресурса по всем видам продукции, я получаю общий расход ресурса.

Вектор В указывает на располагаемое количество ресурсов. Каждый элемент соответствует одному виду ресурса.

Вектор С указывает на прибыль от продажи 1 единицы продукции каждого вида. Каждый элемент вектора соответствует одному виду продукции. Чтобы найти прибыль от каждого вида продукции следует помножить вектор производственной программу X на вектор удельной прибыли С:

Сложив элементы полученного вектора я получаю совокупную прибыль от продажи всей продукции при заданном векторе производственной программы X. Так как x₁, x₂, x₃, x₄ – неизвестные запишем полученное выражение в виде функции:

_{Z = 48x1 + 15x2 + 11x3 + 32x4}

Для достижения максимальной прибыли требуется найти максимум полученной функции Z. При этом x₁, x₂, x₃, x₄ по смыслу  0. Учитывая условия ограничения по ресурсам, получаю задачу на условный экстремум:

_{Z=48x1 + 15x2 + 11x3 + 32x4 max}

_{x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0}

Для ее решения систему неравенств при помощи дополнительных неизвестных х₅, х₆, х₇ заменю системой линейных алгебраических уравнений

_{Z=48x1 + 15x2 + 11x3 + 32x4 max}

_{x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0}

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х₅ – остаток ресурса 1-го вида,

х₆ – остаток ресурса 2-го вида,

х₇ – остаток ресурса 3-го вида.

Решаю полученную задачу симплексным методом (методом направленного перебора базисных допустимых решений):

Явоспользуюсь тем, что правые части всех уравнений системы (6) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменныеx₁, x₂, x₃, x₄ получаю базисное неотрицательное решение

x₁=0, x₂=0, x₃=0, x₄=0, x₅=0, x₆=0, x₇=0

первые компоненты которого определяют производственную программу

x₁=0, x₂=0, x₃=0, x₄=0

Из выражения (3) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию 1-го вида. Чем больше выпуск этой продукции, тем больше прибыль. Я выясню, до каких пор мои ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции.

Общее решение для системы уравнений (6)

X₅ = 116 - 4x₁ - 2x₂ - 3x₃ - x₄

X₆ = 94 - 2x₁ - 3x₃ - 2x₄

X₇ = 196 - 4x₁ - x₂ - 5x₄

Я пока сохраняю в общем решении x₂=0, x₃=0, x₄=0 и увеличиваю только x₁. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств

Ядаюx₁ наименьшее значение x₁= 29, которое оно может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставлю его в (10). Получаю для системы уравнений (6) частное неотрицательное решение

x₁=29, x₂=0, x₃=0, x₄=0, x₅=0, x₆=36, x₇=80

Это решение является новымбазисным неотрицательным решением системы алгебраических уравнений (6), для получения которого достаточно было принять в системе (6) неизвестную x₁ за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение я обязана принять первое, т.к.

а разрешающим элементом будет a₁₁ = 4.

Применяя известные формулы исключения, получаю для системы уравнений (6) новый предпочитаемый эквивалент

Приравняв к нулю свободные переменныеx₂, x₃, x₄, x₅ получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с (11), причем первые четыре компоненты его определяют новую производственную программу

x₁=116/4, x₂=0, x₃=0, x₄=0, x₅=0

Я исследую, является ли эта программа наилучшей, т.е. обеспечивает ли она наибольшую прибыль. Для этого я выражу функцию прибыли (3) через новые свободные переменные x₂, x₃, x₄, x_5. Из уравнения системы (12) выражаю базисную переменную x₁ через свободные и подставляю в (3).

Z = 1392 + 48 (116/4 - 1/2 x₂ – 3/4 x₃- 1/4 x₄ – 1/4 x₅) + 15x₂ + 11x₃ + 32 x₄

Z= 1392 – 24 x₂ – 36 x₃ – 12 x₄ – 12 x₅ + 15 x₂ + 11 x₃ + 32 x₄

Z = 1392 - 9 x₂ - 25 x₃ + 20 x₄ - 12 x₅

Из этого выражения видно, что программа (13) не является оптимальной и что прибыль будет расти наиболее быстро при увеличении количестваx₄четвертой продукции. Поэтому я принимаюx₄ в системе (12) за разрешающую неизвестную, нахожу разрешающее уравнение по

и исключаю x₄ из всех уравнений системы (12), кроме 3-го уравнения. Получаю следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (6) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого мне придется выразить функцию (14) через новые свободные переменные, удалив оттуда переменнуюx₄, ставшую базисной.

Яобращаю внимание на то, что эти удаления можно выполнить очень просто. Я представлю соотношение (3) в виде уравнения

- 48 x₁ – 15 x₂ – 11 x₃ – 32 x₄ = 0 - Z

иприпишу его к системе (6). Получается вспомогательная система уравнений

x₁ – в системе (6) разрешающая неизвестная, этой переменной в последнем уравнении системы (17) отвечает наименьший отрицательный коэффициент ₁ = - 48.

a₁₁ = 4 – разрешающий элемент. Т.к. я исключила неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы (6), кроме 1-го, и из функции (3), очевидно стало видно, что достаточно умножить 1-е уравнение системы (17) на 12 и прибавить к 4-му; получу

9 x₂ + 25 x₃ - 20 x₄ + 12 x₅ = 1392 - Z

Таким образом, я преобразовала вспомогательную систему уравнений (17) к виду

Первые 3-и уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый эквивалент (12) системы уравнений (6) и определяют базисное неотрицательное решение (11) и производственную программу (13), а из последнего уравнения системы (19) получается выражение (14) функции цели через свободные переменные. Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент _j при какой-нибудь переменной x_j в последнем уравнении системы (19), то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. С помощью (14) я выяснила, что следует начинать производить продукцию 4-го вида, т.е. фактически я нашла в последнем уравнении системы (19) наименьший отрицательный коэффициент

min (_j 0) = - 20 = ₁

и решила перевести свободную переменную x₃ в число базисных, для чего, согласно (15) определила разрешающее уравнение и указала разрешающий элемент

a₂₄ = 4

Преобразую всю вспомогательную систему (19) по формулам исключения. Эта система преобразуется к виду

Первые 3-и системы уравнения (20) представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений (6) и определяют базисное неотрицательное решение системы условий рассматриваемой задачи

x₁=24, x₂=0, x₃=0, x₄=80, x₅=0, x₆=6, x₇=0,

т.е. определяют производственную программу

x₁=24, x₂=0, x₃=0, x₄=80

и остатки ресурсов:

первого видаx₅=0

второго вида x₆=6

третьего вида x₇=0

Впоследнем уравнении системы (20) среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию целиZ через остальные неотрицательные переменные

Z = 1792 - 4 x₂ - 10 x₃ - 7 x₅ - 5 x₇,

то становиться совершенно очевидным (в силу того, что всеx_j 0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда

x₂=0, x₃=0, x₅=0, x₇=0.

Это означает, что производственная программа (22) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль

Z_max=1792

С	Базис	Н	48	15	11	32	0	0	0	Пояснения
			X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
0 0 0	X5 X6 X7 Z0-Z	116 94 196 0-Z	4 2 4 -48	2 0 1 -15	3 3 0 -11	1 2 5 -32	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	j= 1,n
0 0 48	X6 X7 X1 Z0-Z	36 80 116/4 1392-Z	0 0 1 0	-1 -1 1/2 9	3/2 -3 3/4 25	3/2 4 1/4 -20	-1/2 -1 1/4 12	1 0 0 0	0 1 0 0	min (116/4:1/4, 36:3/2, 80:4)= 80/4 min = -20
32 0 48	X4 X6 X1 Z0-Z	20 6 24 1792-Z	0 0 1 0	-1/4 - 5/8 9/16 4	-3/4 21/8 15/16 10	1 0 0 0	-1/4 - 1/8 5/16 7	0 1 0 0	1/4 - 3/8 -1/16 5	все j 0

Проверим получившийся результат.

Воспользуюсь тем, что в оптимальной производственной программеx₂ = 0 иx₃ = 0.Предположу, что вторую и третью продукции я не намеревалась выпускать с самого начала. Рассмотрю задачу с оставшимися двумя переменными.Математическая модель будет выглядеть следующим образом:

_{X (x1, x4) - ?}

_{Z= 48x1 + 32x4  max}

4 x₁+ 1x₄116

2 x₁+ 2x₄94

4 x₁+ 5x₄196

x₁  0, x₄  0

Следует при этом обратить внимание на то, что последовательно улучшение программы

(x₁=0, x₄=0) (x₁=116/4, x₄=0) (x₁=24, x₄=20)

на графике означает движение от одной вершины многогранника допускаемых решений к другой вершине по связывающей их стороне многоугольника.

Графическое решение этой задачи представлено на Рис. 1.

Из графика видно, что результаты совпадают.

Обращенный базис, отвечающий оптимальной производственной программе, содержится в последней симплексной таблице:

Обращенный базисQ^-1

-1/4 0 1/4

Q^-1= - 1/8 1 - 3/8

5/16 0 -1/16

х₅ х₆ х₇

Для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, следует проверить отношение Н = Q^-1 * В:

Самопроверка.

-1/4•116+0•94+1/4•196 20

Q^-1 •B= -1/8•116+1•94-3/8•196 = 6 =H

5/16•116+0•94-1/16•196 24